Курсова робота
з дисципліни:
Якісна теорія динамічних систем
на тему:
Біфуркація Андронова-Хопфа
Зміст:
Введення
1. Короткий теоретичне введення
2. Дослідження заданої однопараметричній системи диференціальних рівнянь
Висновок
Список літератури
Введення
На основі заданої системи диференціальних рівнянь необхідно провести наступні дослідження:
1. З'ясувати, чи є особливі точки і цикли, і знайти їх;
2. Знайти линеаризацию поля в особливих точках, її власні числа і вектори, періоди циклів;
. Описати зміни фазового портрету при значеннях параметра поблизу його бифуркационного значення. Запропонувати апроксимації функцій діаметру, періоду і відображення Пуанкаре для циклу як функцій параметра.
1. Короткий теоретичне введення
У теорії динамічних систем, біфуркація Андронова-Хопфа - локальна біфуркація векторного поля на площині, в ході якої особлива точка-фокус втрачає стійкість при переході пари її комплексно-сполучених власних значень через уявну вісь. При цьому або з особливої ??точки народжується невеликої стійкий граничний цикл (м'яка втрата стійкості), або, навпаки, невеликою нестійкий граничний цикл в момент біфуркації переходить в цю точку, і її басейн відштовхування після біфуркації має відокремлений від нуля розмір (жорстка втрата стійкості).
Для того, щоб ця біфуркація мала місце, достатньо на додаток до переходу власних значень через уявну вісь накласти на систему деякі умови типовості.
Біфуркація Андронова-Хопфа і седлоузловая біфуркація - єдині локальні біфуркації векторних полів на площині, що виникають в типових однопараметрических сімействах.
М'яка і жорстка втрати стійкості:
Терміни «м'яка» і «жорстка» пов'язані з описом поведінки системи з погляду «зовнішнього» спостерігача, при повільної (в порівнянні з динамікою системи) еволюції параметра системи і зашумлення системи малими випадковими збуреннями. У випадку м'якої втрати стійкості рішення перейде з положення рівноваги (який став нестійким) в граничний цикл - спостерігач буде бачити періодичне «тремтіння» стану системи недалеко від положення рівноваги, яке буде посилюватися із зростанням параметра. Однак, в масштабі часу «руху параметра», «відхилення» рішення наростають безперервно. Навпаки того, при жорсткій втрати стійкості рішення «різко» зривається і йде за кордон басейну відштовхування зниклого граничного циклу: з точки зору спостерігача, що живе в масштабі часу, в якому змінюється параметр, рішення стрибком поміняло режим.
Біфуркація Хопфа
Теорема: нехай система з параметром
має не рухливу точку на початку координат при всіх значеннях дійсного параметра ?, крім того, припустимо, що власні значення линеаризованной системи? 1 (?)? 2 (?) є чисто уявними при ?=? 0; якщо для дійсної частини власних значень Re [? 1 ()] і Re [? 2 ()] виконується умова і початок координат - асимптотично стійка нерухома точка при ?=? 0, то
a) ?=? 0 є точкою біфуркації для системи;
b) існує інтервал (? 1, ? 0), ? 1 lt; ? 0, такий, що при початок координат є стійким фокусом;) існує інтервал (? 0, ? 2), ? 2 gt; ? 0, такий, що при початок координат - нестійкий фокус, оточений граничним циклом, розмір якого збільшується зі зростанням ?.
Ми маємо справу з біфуркацією диференціального рівняння, якщо якісне поведінка його фазового портрету
Фазові портрети для системи з параметром:
Змінюється при зміні параметра (або параметрів). Наприклад для рівняння точка x=0 - аттрактор при a lt; 0 і репеллерамі при a gt; 0. Коли a зростає, проходячи через нульове значення, то рішення з убуваючих перетворюються на зростаючі функції від t. Кажуть, що це диференціальне рівняння має точку біфуркації при a=0. Аналогічно система
Де, відчуває біфуркацію прі. Тут виникають якісно різні фазові портрети при, як це показано на малюнку. Для будь-якого
фазовий портрет є стійким вузлом; для - це фазовий портрет непростий нерухомої точки; для будь-якого фазовий портрет - сідло.
У математиці, особливою точкою векторного ...
