Алтайський АКАДЕМІЯ ЕКОНОМІКИ ТА ПРАВА
Контрольна робота
з дисципліни Лінійна алгебра
Варіант № 5
Рішення рівнянь системи матриць
сумісність алгебраїчне рівняння матриця гаус
Барнаул, 2014р.
. Підприємство випускає 3 види виробів, використовуючи 2 виду сировини, норми витрат сировини на один виріб задаються матрицею А . Кількість товару, що випускається, кожного виду, задається матрицею випуску В . Визначити грошові витрати підприємства на випуск виробів, якщо вартість одиниці кожного виду сировини виражається матрицею С .
Рішення. Знайдемо матрицю сумарних витрат сировини двох видів на всю продукцію, що випускається:
Грошові витрати підприємства на випуск виробів рівні (AB) 2 * 1=(8 * 25 + 63 * 2)=326.
2. Для матриці A знайти А - 1 , зробити перевірку A - 1 A
Для матриці А знайдемо обернену матрицю А - 1. Визначник матриці А дорівнює detA=- 10, А 11=6, А 12=- 10, А 13=7, А 21=2, А 22=- 8, А 23=7, А 31=- 8, А 32= 4, А 3=- 7. Тоді:
3. Перевірити спільність системи рівнянь і в разі спільності вирішити її: а) за формулами Крамера; б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом).
Рішення:
а) Обчислимо значення визначник функції
Так як головний визначник відмінний від нуля, то система сумісна, знайдемо додаткові визначники:
x 1 =? 1 /?=3/1=3
x 2 =? 2 /?=- 2/1=- 2
x 3 =? 3 /?=2/1=2
Перевірка. Підставивши знайдені значення невідомих у вихідну систему, отримавши три тотожності.
2 * 3 + 3 * (- 2) + 5 * 2=10
* 3 + 7 * (- 2) + 4 * 2=3
* 3 + 2 * (- 2) + 2 * 2=3
б) Вирішимо матричним способом систему рівнянь:
А * Х=В отже Х=А - 1 * В
Знайдемо А - 1:
Визначимо мінори матриці:
Матриця миноров:
Матриця алгебраїчних доповнень:
Матриця алгебраїчних доповнень транспонована:
Зворотній матриця:
4. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гаусса
Рішення. Складемо розширену матрицю А і наведемо її за допомогою елементарних перетворень рядків до трапецієподібні увазі.
rang (A)=rang (A)=4, отже, система сумісна. Останньою матриці со-ответствует система (рівносильна вихідної), яку можна представити у вигляді:
З системи, зворотним ходом методу Гауса (рухаючись знизу вгору), послідовно знаходимо:
5х 4=- 6, х 4=- 6/5
х 3 - 6/5=1, х 3=11/5
х 2 + 11/5-6/5=1, х 2=1-11/5 + 6/5, х 2=0
х 1 + 2 * 0-11/5-6/5=0, 3х 1=17/5, х 1=12/15.
5. Вирішити матричне рівняння моделі Леонтьєва витрати-випуск
X-AX=Y де X-вектор сукупного продукту, А дана матриця коефіцієнтів прямих витрат і Y -вектор кінцевого продукту:
6. Дано координати вершин піраміди ABCD . Потрібно знайти: 1). Довжину ребра AB . 2) .Кут між ребрами AB і AD . 3). Проекцію ребра AD на AB . 4). Площа грані ABC . 5). Обсяг піраміди.
A (1, 1, 0), B (- 1, 3, 3), C (1, - 3, - 2), D (1, 0, 0).
Рішення. 1) Знайдемо координати вектора AB - 2, 2, 3 і його довжину
