поля називається точка, в якій векторне поле дорівнює нулю. Особлива точка векторного поля є положенням рівноваги або крапкою спокою динамічної системи, яка визначається даними векторним полем: фазова траєкторія з початком в особливій точці полягає в точності з цієї особливої ??точки, а відповідна їй інтегральна крива являє собою пряму, паралельну осі часу.
У будь малій околиці фазового простору, яка не містить особливих точок, векторне поле можна випрямити відповідною заміною координат - тим самим, поведінка системи поза особливих точок влаштовано дуже просто. Навпаки, в околиці особливої ??точки система може мати дуже складною динамікою. Говорячи про властивості особливих точок векторних полів, зазвичай розуміють властивості відповідної системи в малій околиці особливої ??точки.
Особливі точки векторних полів на площині
Найпростішими прикладами особливих точок є особливі точки лінійних векторних полів на площині. З поняттям векторного поля на площині можна пов'язати лінійну систему диференціальних рівнянь виду:
,
де x=(x 1, x 2) - точка на двовимірній площині, - матриця. Очевидно, точка x=(0,0) у разі невиродженої матриці A є єдиною особливою точкою такого рівняння.
У залежності від власних значень матриці A, розрізняють чотири типи невироджених особливих точок лінійних систем: вузол, сідло, фокус, центр.
Циклом динамічних систем називається будь-яка замкнута гранична траєкторія.
Цикл називається стійким, якщо до нього прагнуть траєкторії при t? gt; +? і нестійким при t? gt; -? і полуустойчівим при t? gt; +? і t? gt; -?.
Відображення Пуанкаре ставлять відповідно будь-якій точці на трансверсалями точку наступного перетину траєкторії і трансверсалями.
Сходи Ламерея - це графічне зображення Пуанкаре
трансверсалями - це будь-яка пряма, що проходить через особливу точку.
У математиці, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія динамічної системи) називається стійким , якщо поведінка рішень з близьким початковою умовою «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотическую стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки задача про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.
У теорії динамічних систем, розділі математики, відображення Пуанкаре (також відображення последования, відображення першого повернення) - це проекція деякою майданчики у фазовому просторі на себе (або на інший майданчик) уздовж траєкторій (фазових кривих) системи.
Більш докладно, відображення Пуанкаре визначається наступним чином. Розглянемо деякий ділянку поверхні у фазовому просторі (перетин Пуанкаре), трансверсальний до векторного поля системи (тобто не стосується поля; часто говорять просто трансверсалями). З точки x на трансверсалі випустимо траєкторію системи. Припустимо, що в якийсь момент траєкторія вперше перетнула трансверсалями знову; позначимо точку перетину через y. Відображення Пуанкаре точці x ставить у відповідність точку перше повернення y. Якщо траєкторія, випущена з x, ніколи не повертається на трансверсалями, то відображення Пуанкаре в цій точці не визначено.
Аналогічно можна визначити відображення Пуанкаре (відображення последования) не тільки з трансверсалі на себе, але і з однією трансверсалі на іншу.
Ітерації відображення Пуанкаре з деякою трансверсалі на себе утворюють динамічну систему з дискретним часом на фазовому просторі меншої розмірності. Властивості цієї системи знаходяться в тісному зв'язку з властивостями вихідної системи з безперервним часом (наприклад нерухомі і періодичні точки відображення Пуанкаре відповідають замкнутих траєкторіях системи). Тим самим, встановлюється зв'язок між векторними полями і їх потоками з одного боку і ітераціями відображень - з іншого. Відображення Пуанкаре є важливим інструментом дослідження динамічних систем з безперервним часом.
Лінеаризація - один з методів наближеного представлення замкнутих нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної вихідної. Методи лінеаризації мають обмежений характер, т. Е. Еквівалентність вихідної нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише для обмежених просторових або часових масштабів системи, або для певних процесів, причому, якщо система п...
