Введення
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) є однією з основних задач лінійної алгебри. Це завдання має важливе прикладне значення при вирішенні наукових і технічних проблем. Крім того, є допоміжною при реалізації багатьох алгоритмів обчислювальної математики, математичної фізики, обробки результатів експериментальних досліджень. У нашій програмі ми реалізуємо рішення систем лінійних рівнянь «матричним методом».
Спочатку з'ясуймо зміст рішення систем лінійних рівнянь «матричним методом», виведемо формулу для обчислення лінійних рівнянь. Слідом перейдемо до вирішення характерних прикладів, постачимо їх докладними коментарями.
Після проведеного огляду програмних засобів ми вибрали середовище програмування найбільш підходящу нам як дуже зручний засіб для розробки даного програмного продукту. Delphi 7 є найбільш вигідною нам середовищем програмування.
1.Теоретіческая частина
1.1 Опис методу
Матричний метод рішення (метод вирішення через зворотну матрицю lt; # 9 src= doc_zip1.jpg / gt; невідомими (над довільним полем):
Тоді її можна переписати в матричній формі:
де - основна матриця системи, і - стовпці вільних членів і рішень системи відповідно:
A =, B =, X=
Помножимо це матричне рівняння зліва на - матрицю, зворотний до матриці A:
Помножимо це матричне рівняння зліва на - матрицю, зворотний до матриці A:
Так як, отримуємо. Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосовності даного методу (як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь з числом рівнянь, рівним числу невідомих) є
Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор, дійсно зворотне правило: система має нетривіальне (тобто ненульове) рішення тільки якщо. Такий зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь носить назву альтернативи Фредгольма lt; # justify gt; 1.2 Введення формул
Нехай для матриці А порядку n на n існує зворотна матриця. Помножимо обидві частини матричного рівняння зліва на (порядки матриць і В дозволяють зробити таку операцію, дивіться статтю операції над матрицями, властивості операцій lt; # 22 src= doc_zip43.jpg / gt ;. Так як для операції множення матриць підходящих порядків характерно властивість асоціативності, то остання рівність можна переписати як, а за визначенням зворотної матриці (E - одинична матриця порядку n на n), тому
Таким чином, рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом визначається за формулою Іншими словами, рішення СЛАР знаходиться за допомогою оберненої матриці.
Ми знаємо, що квадратна матриця А порядку n на n має зворотну матрицю тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю. Отже, систему n лінійних алгебраїчних рівнянь. З n невідомими можна вирішувати матричним методом тільки тоді, коли визначник основної матриці системи відмінний від нуля.
1.3 Приклади розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом
Розглянемо матричний метод на прикладах. У деяких прикладах ми не будемо докладно описувати процес обчислення визначників матриць, при необхідності звертайтеся до статті обчислення визначника матриці lt; # 54 src= doc_zip58.jpg / gt;.
Рішення.
У матричній формі вихідна система запишеться як, де
.
Обчислимо визначник основної матриці і переконаємося, що він відмінний від нуля. В іншому випадку ми не зможемо вирішити систему матричним методом. Маємо
,
отже, для матриці А може бути знайдена обернена матриця. Таким чином, якщо ми відшукаємо зворотну матрицю, то шукане рішення СЛАР визначимо як. Отже, завдання звелася до побудови оберненої матриці. Знайдемо її.
Ми знаємо, що для матриці обернена матриця може бути знайдена як, де - алгебраїчні доповнення елементів a_11, a_12, a_21, a_22
У нашому випадку:
Тоді:
Виконаємо перевірку отриманого рішення, підставивши його в матричну форму вихідної системи рівнянь. Це рівність має звернутися в тотожність, в іншому випадку десь була допущена помилка.
Отже, рішення знайдено вірно.
Відповідь:
або в іншому записі.
2. Практична частина
2.1 Блок-схема програми
На малюнку 1 представлена ??блок-схема програми:
...
