Міносвіти РФ
Федеральне державне бюджетне освітня
установа вищої професійної освіти
Тульський Державний Університет
Чисельні методи
Лабораторна робота №1
«РІШЕННЯ систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса»
Виконав студент групи 520111: Курилов В.Р.
Тула 2013
Мета роботи
Придбання навичок вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.
Теоретичні відомості
Метод Гаусса для довільної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
заснований на приведенні матриці системи до трикутної. Віднімемо з другого рівняння системи (1) перше, помножене на таке число, щоб знищився коефіцієнт при. Потім таким же чином віднімемо перше рівняння з третього, четвертого і т.д. Тоді исключатся всі коефіцієнти першого стовпця, що лежать нижче головної діагоналі. Потім за допомогою другого рівняння виключимо з третього, четвертого і т.д. рівнянь коефіцієнти другого шпальти. Послідовно продовжуючи цей процес, виключимо з матриці всі коефіцієнти, що лежать нижче головної діагоналі.
Запишемо загальні формули процесу. Нехай проведено виключення коефіцієнтів з шпальти. Тоді залишилися такі рівняння з ненульовими коефіцієнтами нижче головної діагоналі:
Помножимо -ю рядок на число
і віднімемо з -той рядка. Перший елемент цього рядка звернеться в нуль, а решта зміняться за формулами
Виробляючи обчислення за цими формулами при всіх зазначених індексах, виключимо елементи -го стовпця. Будемо називати таке виключення циклом процесу. Виконання всіх циклів називається прямим ходом винятку.
Після виконання прямого ходу отримаємо трикутну систему
з матрицею
Трикутна система (5) легко вирішується зворотним ходом по формулах
Зауваження:
. Виняток за формулами (3) - (4) можна проводити, якщо в ході розрахунку на головній діагоналі виявився нульовий елемент. Тоді в проміжній системі (2) перестановкою рядків необхідно перемістити ненульовий елемент на головну діагональ і продовжити розрахунок.
. Якщо елемент на головній діагоналі малий, то цей рядок множиться на великі числа, що призводить до значних помилок при відніманні. Щоб уникнути цього, кожен цикл завжди починають з перестановки рядків. Серед елементів стовпця,, знаходять головний, тобто найбільший по модулю в -тому стовпці, і перестановкою рядків переводять його на головну діагональ, після чого виконують винятку. У методі Гаусса з вибором головного елемента похибка округлення зазвичай невелика. Тільки для погано обумовлених систем () стійкість цього методу виявляється недостатньою.
3. Для контролю розрахунку корисно знайти невязки:
Якщо вони великі, то це означає грубу помилку в розрахунку. Якщо вони малі, а система добре обумовлена, то рішення знайдено досить точно. Для погано обумовлених систем малість нев'язок не гарантує хорошою точності рішення.
Завдання
Знайти рішення системи лінійних рівнянь з матричними елементами
гаус рівняння матриця
і вільними членами
де - номер прізвища студента в журналі групи;- Остання цифра номера групи.
Допустима похибка. При вирішенні системи використовувати метод Гаусса з вибором головного елемента.
Алгоритм рішення:
1) Побудова матриці з елементами, які обчислюються за формулами в завданні.
) Підготовка матриці до трикутного вигляду за допомогою знаходження елементів головної діагоналі.
) Обчислення коефіцієнтів, на які необхідно помножити рядка для віднімання рядків.
) Обнулення елементів лежать нижче головної діагоналі і приведення до трикутного вигляду.
) Знаходження рішення за допомогою формул зворотного ходу.
Текст програми: Delphi 7 program laba1var10;
{$ APPTYPE CONSOLE} ;, i, j, l, h: integer;, k, r: real;: array [1..5,1..6] of real;: array [1..5] of real;: array [1..5,1..6] of real; i:=1 to 5 do beginj:=1 to 5 do begin (i lt; j) then a [j, i]:=i + j- (10/3) - 1; (i=j) then a [j, i]:=i + j + (10/4) +1;// матриця лінійного рівняння (i gt; j) then a [j, i]:=i + j- (10/5) - 1 ;;;:=6; i:=1 to 5 do//стовпець вільних членів [ i, j]:=3 * i + (10/2) +1; i:=1 to 5 do beginj:=1 to 6 do b...
