Потім встановили властивості цих «прямих». На самому початку спостереження була доступна лише мала частина планети, а точність вимірювання залишалася дуже невеликий. Тому в межах точності вимірювання властивості «прямих» на поверхні планети були такими ж, як властивості прямих на площині, - через дві точки проходила одна і тільки одна «пряма», дві «прямі» перетиналися в одній і тільки одній точці (друга точка перетину , діаметрально протилежна першою, була недосяжна для спостерігачів). Нарешті, геометри були впевнені, що їх «прямі лінії» нескінченні. Сама думка, що при русі по «прямій» в одному і тому ж напрямку вони повернуться у вихідну точку, здавалася дикою, незрозумілою і суперечить здоровому глузду. І вчені були переконані, що поверхня їх планети нескінченна, а тих, хто висував інші ідеї, звинувачували у всіх смертних гріхах.
Подальше вивчення властивостей «прямих» показало, що в межах точності вимірювання сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 градусам, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів і т.д. Іншими словами, жителі цієї планети побудували геометрію Евкліда і вважали, що вона повністю застосовна до поверхні їх планети.
Незабаром, однак, їм довелося переконатися, що це не так. У міру розвитку техніки вдавалося виміряти все більші й більші шматки суші (океанських плавань жителі здійснювати не могли). І ці вимірювання вступили в протиріччя з евклідової геометрією. Щоб зрозуміти в чому справа, візьмемо на сфері три крапки А, В і С (рис.2, а). Ці точки можна з'єднати «відрізками прямих», а по-нашому - дугами великих кіл (тобто дугами меридіанів АВ і АС і дугою екватора НД). У результаті виходить трикутник ABC. Легко бачити, що всі три кути цього трикутника прямі. Значить, сума його кутів дорівнює 270 градусам, а не 180 градусам, як належить за геометрії Евкліда. На 90 градусів більше, ніж потрібно.
У інших трикутників надлишок суми кутів був би інший. Наприклад, у трикутника ABD (рис.2, б) кожен з кутів В і D дорівнює 90 градусам, а кут BAD - 180 градусам. Сума кутів цього трикутника дорівнює 360 градусам - на 180 градусів більше, ніж потрібно. ? +? +?- Надлишок цього трикутника, де?,?,?- Його кути.
Рис.2
Але не тільки наявність надлишку у трикутників показало жителям, що вони живуть не на площині, а на кривій поверхні. Невірної опинилася і теорема Піфагора. Наприклад, у трикутника ABC кут А становить 90 градусів, а всі його сторони рівні один одному. Взагалі, тут важко розібрати, де гіпотенуза, а де катети, - всі кути прямі.
До несподіваних результатів привело і вивчення «паралельних прямих» на поверхні планети. Адже якщо провести на площині замкнуту лінію, а потім переміщати уздовж неї відрізок так, щоб він залишався весь час параллелен самому собі, то відрізок повернеться у вихідну точку, не змінивши напрямки (рис.3, а). Вимірювання малих ділянок поверхні планети, начебто, підтверджували цей результат («паралельними» жителі вважали «прямі», перпендикулярні одній і тій же «прямий»).
Але вимірювання великих ділянок поверхні привели зовсім до інших результатів. Візьмемо, наприклад, трикутник ABN (рис.3, б) і проведемо в точці N «відрізок», перпендикулярний NA. Будемо переносити цей відрізок вздовж контуру трикутника ABN, стежачи за тим, щоб він залишався весь час паралельним самому собі. Коли ми прийдемо в точку А, то отримаємо відрізок, спрямований по екватору. Так як екватор сам є «прямий», то після паралельного перенесення в точку В відрізок знову буде направлений по екватору. А коли ми перенесемо його ще по меридіану BN, то отримаємо відрізок, повернений на 90 градусів відносно первісного напрямку (тобто якраз на величину надлишку трикутника ABN). А якби ми переносили відрізок по контуру трикутника ABD на (рис.3, б), то він повернувся б на 180 градусів.
Рис. 3
Взагалі, при паралельному перенесенні по контуру будь-якого сферичного трикутника відрізок повертається на кут, рівний надлишку цього трикутника. Цікавий результат виходить, якщо переносити відрізок уздовж екватора. На перший погляд здається, що він повернеться у вихідну точку, що не повернувшись. Але це невірно. Якщо весь час зносити рухомий відрізок в одну і ту ж точку - полюс сфери, то ми побачимо, що він повернувся на 360 градусів (рис.4).
Це і недивно. Доповнимо екватор дугою меридіана AN. Ми отримаємо «трикутник» NAN. У цьому трикутнику два кути прямі, а третій дорівнює 360 градусів. Тому і його надлишок дорівнює 360 градусам.
Отже, вимірюючи суму кутів трикутника, спостерігаючи за поворотом паралельних при перенесенні по замкнутому контуру, перевіряючи теорему Піфагора, жителі планети переконалися, що вони живуть не на площині, а на якийсь...
