оптімальність у системах Керування
1. Умови оптімальності у неавтономних системах Керування
У загально випадка неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежався явно від годині, тоб закон руху має вигляд:
, (1)
а цільовій функціонал дорівнює
. (2)
Тут Функції і - неперервні по сукупності змінніх и неперервно діференційовані по змінніх, ,. p> Такоже вважатімемо, что момент годині, Який відповідає початкова стану, відомій, а момент годині проходження через кінцеву крапку не завдань и винен буті знайдення, тоб сформульована задача - це задача з вільним годиною.
Поставлено завдання может буті ЗВЕДЕНА до автономної задачі Введений додаткової змінної. До закону руху при цьом додається рівняння
,
а до початкових умов - Співвідношення. p> Тепер систему (2) можна переписати у вігляді:
(3)
а функціонал дорівнюватіме
, (4)
де (відповідно до Доданий у початкових систему рівняння).
Отже, Неавтономні-вімірну завдання Було зведам до автономної задачі з розширеного фазові простором. У новій задачі нужно найти Оптимальними траєкторію, что поєднує точку розширеного фазового простору з Деяк точкою на прямій, яка проходитиме через точку паралельно осі. Оскількі кінцеве Значення змінної невідоме, то нова задача - це задача з фіксованім лівім и Рухом правимо кінцямі.
Если в задачі оптимального Керування (3) - (4) відомі и початковий момент годині ї кінцевій момент годині, то завдання назівається задачею з фіксованім годиною. Перетворення цієї задачі Введений Додатковий змінного призводити до задачі з фіксованімі кінцямі в такому формулюванні. Потрібно найти Керування, что переводити фазову точку системи (2) Зі стану в момент годині у стан у момент годині, причому функціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважімо, что момент годині попадання в точку Можна не вважаті фіксованім, оскількі чинності тотожності попадання в точку может відбутіся Тільки в цею момент годині. Таким чином, до даної задачі можна застосуваті теорему, відповідно до Якої для одержании необхідніх умів екстремуму функціонала звітність, максимізувати функцію Понтрягіна
, (5)
де - загальний вигляд Функції Понтрягіна з теореми 1, у якій НЕ врахована додаткова, ()-ша змінна. Спряж система для цієї задачі за умів набуває вигляд:
(6)
має місце така теорема.
Припустиме,, - оптимальний процес для задачі з фіксованім годиною. Тоді існує ненульова вектор-функція, что відповідає цьом процеса, така что:
1. Для будь-якого функція змінної набуває максимального значення в точці, тоб:
:.
2. ,. br/>
Оскількі, як и раніше,, то умову 2 цієї теореми Достатньо перевіріті в якій-небудь одній точці відрізка.
Розглянемо випадок, коли при фіксованому правий Кінець Вільний. Ця задача Полягає в тому, щоб Із заданого стану за завдань годину пройти по Траєкторії з довільнім кінцевім таборували за умови мінімізації цільового функціонала. Умови трансверсальності для цієї задачі набуваються вигляд:
,. (7)
Для цього випадка Необхідна Умова оптімальності Полягає в тому, щоб функція досягала максимального значення для шкірного на оптимальному керуванні и мала місце Умова (7).
2 Поняття особливого Керування
На практіці часто зустрічаються задачі оптимального Керування, у якіх функція Понтрягіна лінійно покладів від всех Керування або від Частини з них (Наприклад, в лінійніх завданнях оптімальної швідкодії). Однак у нелінійніх задачах оптимального Керування (ЯКЩО функція Понтрягіна є нелінійною по одній або декількох фазових змінніх) можлива Ситуація, коли на оптімальній Траєкторії коефіцієнт при одній з компонент вектора Керування обертається на нуль всюди на Деяк інтервалі годині, и тоді Умова максимуму Функції за межі не дозволяє однозначно візначіті оптімальне Керування. Ця Ситуація назівається особливая режимом Керування. Дослідімо ее детальніше.
Розглянемо Автономного задачу оптимального Керування
,
Де; ,,, , p> - довільна множини з;
- лінійній простір кусково-неперервно на функцій.
Крайові умови задачі мают вигляд:
,.
Потрібно найти таке Припустиме Керування, что переводити систему Зі стану біля стан, причому відповідній Припустиме процес доставляє мінімальне Значення функціоналу
,
де Функції, неперервні по сукупності всех змінніх и неперервно-діференційовані по змінніх.
Вважатімемо, что функція Понтрягіна для цієї задачі є лінійною за Частинами компонент вектора. Віділімо Із ціх компонент групу з Керування (з тихий, за Яки...
