ОКРЕМІ випадка ЗАВДАНЬ ОПТИМАЛЬНОГО Стохастичную Керування
1. Зовнішній інтеграл
Функції и могут буті довільнімі, а математичні сподівання можна обчіслюваті, ЯКЩО як функція від є вімірною.
Если ж оптимальна стратегія, отримай в результаті оптімізації, виявило невімірною, то и функція может віявітіся невімірною. У цьом випадка математичне сподівання невизначено. p> Для розв'язання цієї проблеми застосовують два підході. Перший Полягає в накладенні на Функції и таких обмежень, Які забезпечувалі б вімірність підінтегральної Функції на шкірному кроці оптімізації: Функції І,, повінні буті неперервно по своих аргументах и ​​винна існуваті щільність імовірності розподілу віпадкової величини, а множини значень Припустиме стратегій повінні буті компактність.
На шкода, на практіці ці вимоги НЕ всегда віконуються. Тому другий підхід пов'язаний з використаних зовнішнього інтеграла.
Позначімо через простір елементарних подій, что є довільною множини, а - Деяка система підмножін множини.
математичность сподіванням віпадкової величини, заданої на імовірнісному просторі, назівається число, ЯКЩО інтеграл з правої Частини існує.
Нехай і - борелівські простори,, є-алгеброю в. Функція назівається -Вімірною, ЯКЩО для будь-якої множини. Тут - борелівська-алгебра простору.
Для Функції, () зовнішній інтеграл за мірою візначається як нижня грань інтегралів від всех вімірніх функцій (), что мажорують , Тоб
,.
Тут - Функція розподілу віпадкової величини, что відповідає ймовірнісній мірі. p> Для довільної Функції має місце співвідношення:
,
де ,, И вважають, що. p> Оскількі зовнішній інтеграл визначеня для будь-якої Функції, як для вімірної, так и для невімірної, то ніякіх Додатковий обмежень на Функції и накладаті не потрібно.
Для вімірніх функцій Обидва види математичних сподівань співпадають. Отже, у постановках завдань можна замініті звичайне математичне сподівання на Зовнішнє, и даже ЯКЩО Знайду при цьом функція виявило вімірною, то отримай стратегія Керування не занедбую буті оптимальною.
Зовнішня міра множини візначається співвідношенням.
Для будь-якої множини
,
де - Це індикатор множини, что візначається як
а) ЯКЩО, то;
б) ЯКЩО І, то;
в) ЯКЩО або, то;
г) ЯКЩО задовольняє рівності, то для будь-якої Функції має місце Рівність;
д) ЯКЩО, то для будь-якої Функції;
е) ЯКЩО І, то. Если при цьом хочай б одна з функцій або-вімірна, то Останнє співвідношення вірно Зі знаком рівності.
Позначімо через дійсну пряму, а через - Розширене дійсну пряму и надалі у всех висновка вместо дійсної прямої вікорістовуватімемо Поняття розшіреної дійсної прямої.
Вважатімемо, что для розшіреної дійсної прямої мают місце ВСІ співвідношення порядку додавання и множення, Які Було введено для, и Припустиме, что і.
Позначімо через множини всех дійсніх у Розширене розумінні функцій, де - простір станів.
- банахів простір всех обмежених дійсніх функцій з нормою, что візначається за формулою
,.
Позначатімемо , ЯКЩО,, І, ЯКЩО,,.
Для будь-якої Функції и будь-якого числа позначімо через функцію, что пріймає значення в Кожній точці, так, что
,.
припущені монотонності. Для будь-яких станів, Керування и функцій мают місце нерівності
ЯКЩО і;
, ЯКЩО і;
, ЯКЩО, і.
Для будь-якого стратегія назівається -Оптимальною при горізонті, ЯКЩО
В
и -Оптимальною, ЯКЩО
В
багатая завдань послідовної оптімізації, что становляит практичний Інтерес, могут розглядатіся як окремі випадка завдань загально увазі. Розглянемо деякі з них:
В· задачі детермінованого оптимального Керування;
В· задачі стохастичного Керування Зі зліченнім простором збурень;
В· задачі стохастичного Керування Із зовнішнім інтегралом;
В· задачі стохастичного Керування з мультіплікатівнім функціоналом витрат;
В· задачі мінімаксного стохастичного Керування.
В
2. Детерміноване оптімальне Керування
Розглянемо відображення, что завданні формулою
,,, (1)
за таких припущені:
Функції и відображають множини відповідно в множини и , Тоб,; скаляр додатний. p> За ціх умів відображення задовольняє припущені монотонності. Если функція дорівнює нулю, тоб,, то відповідна-Крокова завдання оптімізації (1) набуває вигляд:
, (2)
. (3)
Ця завдання є задачею детермінованого оптимального Керування Зі скінченнім горизонтом. Завдання з нескінченнім горизонтом має Наступний вигляд:
, (4)
. (5...
