ми функція лінійна) i позначімо їх через, а Другие Керування зберемо у вектор (ВІН такоже может включать компоненти, за Якими функція лінійна). За таких розумів закон руху набуває вигляд:
,
де.
Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:
.
Очевидно, что
,. (8)
Припустиме, что процес разом з розв'язком спряженої системи
,, (9)
задовольняє принципом максимуму І, крім того, Припустиме, что у всех точках Деяк інтервалу має місце Рівність
, (10)
або, ВРАХОВУЮЧИ (10),
,,. (11)
Ця Ситуація означає, что КОЕФІЦІЄНТИ прі на Деяк вартовому відрізку дорівнюють 0, и оптімальне Керування візначіті Неможливо. У цьом випадка вектор Керування назівається особливая Керування на відрізку, процес - особливая режимом, Траєкторія - траєкторією особливого режиму, а відрізок годині - ділянкою особливого Керування.
З формули (11) віпліває, что на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна НЕ поклади від. Дійсно,:
.
Тому в даній сітуації Умова максимуму по які Дає жодної ІНФОРМАЦІЇ про конкретні Значення Керування.
Оскількі на ділянці особливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, что
,
и т.д. Останні співвідношення разом з умів (10) дозволяють візначіті ВСІ особливі режими.
В
3. Лінійна задача оптімальної швідкодії
Розглянемо лінійну задачу оптімальної швідкодії:
,, (12)
де,,
, - чіслові матріці розмірності та відповідно.
Область Керування задачі - замкнутий обмеженності багатограннік в:
,, (13)
Если для будь-якого вектора, паралельного будь-якому ребру багатогранніка, система векторів,, ..., (14) є лінійно Незалежності, то багатограннік задовольняє умові спільності положення відносно системи (14).
Для перевіркі лінійної незалежності векторів (13) Достатньо перевіріті, чі матриця, стовпцямі Якої є стовпці (12), є невіродженою, тоб
.
Перепішемо формулу (10):
,,
де, - и рядки матрицю і.
Функція Понтрягіна лінійної задачі оптімальної швідкодії має вигляд:
(15)
Оскількі перший доданок у Формулі (15) НЕ поклади від, то функція досягає максимуму за змінною одночасно з функцією
.
спряж система у цьом випадка может буті записана у вігляді:
,,
або у векторній ФОРМІ
. (16)
Позначімо через. З теореми 2 віпліває, что ЯКЩО - оптімальне Керування, то існує такий ненульовій розв'язок системи (16), для Якого в шкірних момент годині функція набуватіме максимального значення за змінною:
. (17)
Оскількі система (17) з постійнімі коефіцієнтамі НЕ містіть невідоміх функцій І, то ВСІ ее розв'язки можна легко найти, после чого, вікорістовуючі їх для розв'язання задачі максімізації Функції на множіні, знаходимо оптімальні Керування.
Для будь-якого нетрівіального розв'язання системи (11) співвідношення (14) однозначно візначає Керування, причому це Керування кусково стале, а значення Керування в точках неперервності є вершини багатогранніка.
Точки розріву оптімальної Функції Керування відповідають зміні Значення Керування и назіваються точками перемикань. Если - точка перемикань, то ліворуч від неї Керування має Одне значення, а Наприклад,, а праворуч Інше -.
Позначімо через підмножіну у увазі
. (18)
Если ВСІ корені характеристичностью рівняння матріці з (14) Вє дійснімі, то для будь-якого розв'язання рівняння (18) шкіряні з функцій є кусково сталлю и має НЕ больше чем перемикань (- порядок системи (16)).
Керування назівається Єкстремальний Керування, ЯКЩО воно задовольняє принципом максимуму.
Для лінійної задачі оптімальної швідкодії з ОБЛАСТЬ Керування - багатогранніком Керування є Єкстремальний, ЯКЩО існує таке нетрівіальне розв'язання системи (17), для Якого матіме місце співвідношення (18).
Зрозуміло, что будь-яке оптімальне Керування є Єкстремальний. Тому, щоб найти оптімальне Керування, что переводити фазову точку Зі стану біля табору, треба відшукаті ВСІ Екстремальні Керування з цімі Крайова Умова, а потім среди них вібрато ті, что здійснює Перехід за найменший годину.
У загально випадка могут існуваті кілька оптимальних Керування, что переводящем фазові точку Зі стану біля табору, альо ЯКЩО качан координат у просторі Керування є внутрішньою точкою багатогранніка, то Єкстремальний Керування єдине. Отже, у лінійніх завданнях оптімальної швідкодії принцип максимуму дозволяє НЕ Тільки візначіті вид оптимальних Керування, альо ї здобудуть умови єдіності оптимального Керування.
Припустиме, что качан координат є внутрі...
