Федеральне агентство з освіти
Державне освітня установа вищої професійної освіти Санкт-Петербурзький державний гірничий інститут ім. Г. В. Плеханова
(технічний університет)
А.П. Господарик, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян
Ряди Фур'є. Інтеграл Фур'є. Операційне числення
Навчально-методичний посібник
В
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2005
УДК 512 + 517.2 (075.80)
ББК 22.161.5
Г723
Навчально-методичний посібник дає можливість отримати практичні навички аналізу функцій за допомогою розкладу в ряд Фур'є або подання інтегралом Фур'є і призначено для самостійної роботи студентів денної та заочної форм навчання спеціальностей. p> У посібнику розглянуто основні питання операційного обчислення і широкий клас технічних завдань із застосуванням основ операційного числення.
Науковий редактор проф . А.П. Господарик
Рецензенти: кафедра вищої математики № 1 Санкт-Петербурзького державного електротехнічного університету; доктор фіз.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербурзький державний політехнічний університет). br/>
Господарик А.П.
Г723. Ряди Фур'є. Інтеграл Фур'є. Операційне числення: Навчально-методичний посібник/ А.П. Господарик , Г.А. Колтон , С.А. Хачатрян ; Санкт-Петербурзький державний гірничий інститут (технічний університет). СПб, 2005. 102 с. br/>
ISBN 5-94211-104-9
УДК 512 + 517.2 (075.80)
ББК 22.161.5
Введення
З теорії Фур'є відомо, що при деякому впливі на фізичні, технічні та інші системи, його результат повторює форму початкового вхідного сигналу, відрізняючись тільки масштабним коефіцієнтом. Зрозуміло, що на такі сигнали (їх називають власними) система реагує найбільш простим чином. Якщо довільний вхідний сигнал є лінійна комбінація власних сигналів, а система лінійна, то реакція системи на цей довільний сигнал є сума реакцій на власні сигнали. І тому повну інформацію про систему можна отримати за В«ЦеглинціВ» - відгукам системи на власні вхідні сигнали. Так чинять, наприклад, в електротехніці, коли вводять частотну характеристику системи (Передавальну функцію). Для найбільш простих лінійних, інваріантних в часі систем (наприклад, описуваних звичайними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами) в деяких випадках власними функціями є гармоніки виду. Таким чином можна отримати і результат довільного впливу на систему, якщо останній буде представлений у вигляді лінійної комбінації гармонік (у загальному випадку, у вигляді ряду Фур'є або інтеграла Фур'є). Ось одна з причин, по якій в теорії і додатках виникає потреба застосування поняття тригонометричного ряду (ряду Фур'є) або інтеграла Фур'є.
Глава 1. Ряди Фур'є
В
В§ 1. Векторні простору
Тут наведені короткі відомості з векторної алгебри, необхідні для кращого розуміння основних положень теорії рядів Фур'є.
Розглянемо безліч W геометричних векторів (векторне простір), для якого звичайним чином введені поняття рівності векторів, лінійні операції (додавання і віднімання векторів, множення вектора на число) і операції скалярного множення векторів. p> Введемо в просторі W ортогональний базис, що складається з трьох попарно ортогональних векторів, і. Довільний вектор є лінійною комбінацією векторів базису:
. (1.1)
Коефіцієнти l i ( i = 1, 2, 3), звані координатами вектора щодо базису, можуть бути визначені наступним чином. Скалярний твір вектора і одного з векторів базису
.
У силу ортогональності базису скалярні твори при, отже, в правій частині останнього рівності відмінно від нуля лише один доданок, відповідне, тому, звідки
, (1.2)
де.
Якщо вектори і задані своїми координатами і, то їх скалярний твір
.
Так як при скалярний твір, то в подвійній сумі відмінні від нуля лише доданки з рівними індексами, тому
. (1.3)
Зокрема при з (1.3) слід
. (1.4)
В§ 2. Скалярний твір і норма функцій
Позначимо символом безліч функцій, кусково-неперервних на проміжку [ a , b ], тобто функцій, що мають на проміжку [ a , b ] кінцеве число точок розриву першого роду і безперервних у всіх інших точках цього проміжку.
Скалярним твором функцій називається число
.
В
Властивості скалярного добутку функцій повністю збігаються з властивостями скалярного твори вектор...
