ів:
1. . p> 2. . p> 3. . p> 4. ;. br/>
Таким чином, скалярний твір лінійно залежить від своїх компонентів. Це властивість називається білінійну скалярного твору. p> Функції називаються ортогональними на [ a, b ], якщо .
Нормою функції на проміжку [ a , b ] називається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює скалярному добутку функції на себе:
.
В
Властивості норми функції в чому збігаються з властивостями модуля вектора:
1. . p> 2. Якщо функція неперервна на [ a , b ] і, то. Так як, то при
,
звідки. Диференціюючи останнє співвідносячи-шення по і застосовуючи теорему Барроу, отримаємо і, сле-послідовно,. p> 3. теорема косинусів
. . <В
Слідство. Якщо, то (теорема Піфагора).
4. Узагальнена теорема Піфагора. Якщо функції ( k == 1, 2, ..., n ) попарно ортогональні на проміжку, то
.
Використовуючи властивість білінійну скалярного твори, отримаємо
.
У силу ортогональності функцій скалярні твори при, тому
.
5. нерівність Коші - Буняковського , або, що те ж саме,
.
За будь-яких речових
. br/>
Таким чином, квадратний тричлен в лівій частині останнього нерівності зберігає знак на всій дійсній осі, отже, його дискримінант.
Вправа 1. Довести властивості скалярного добутку функцій 1-3. p> Вправа 2. Показати справедливість наступних тверджень:
а) функція ортогональна функціям і на проміжку при будь-яких цілих k і m ;
б) за будь-яких цілих k і m функції і ортогональні на проміжку;
в) функції і, а також і при ортогональні на проміжках і;
г) функції і не ортогональні на проміжку.
Вправа 3. Використовуючи властивість норми 5, довести нерівність трикутника
.
В§ 3. Ортогональні системи функцій. Коефіцієнти Фур'є. Ряд Фур'є
Рахункове безліч безперервних на проміжку функцій утворюють на цьому проміжку ортогональну систему, якщо
1. , 2. прі.
Нехай - ортогональна система функцій на проміжку і. За аналогією з (1.2) утворюємо величини
, (3.1)
де.
Числа називаються коефіцієнтами Фур'є функції щодо ортогональної системи. p> Ряд
(3.2)
називається поруч Фур'є для функції. p> На відміну від того, що має місце у векторній алгебрі [см. (1.1)], тут не можна стверджувати ні того, що сумою ряду Фур'є (3.2) є задана функція, ні навіть того, що ряд (3.2) взагалі сходиться. Тим не менш, часткові суми ряду (3.2), звані поліномами Фур'є, грають важливу роль в задачі апроксимації функції лінійними комбінаціями функцій. p> Терміном апроксимація будемо позначати заміну заданої функції іншої, близької до, функцією, більш простий або більш зручною для дослідження. При цьому, природно, виникає питання про величину похибки, пов'язаної з такою заміною. Похибка апроксимації зазвичай оцінюється за допомогою середнього квадратичного відхилення
,
або більше простий величини
.
Ясно, що чим менше величина Оґ, тим ближче розташовуються один до одного графіки функцій і, тим краще функція апроксимує функцію.
Визначимо, при якому наборі коефіцієнтів лінійна комбінація
В
перших п функцій ортогональної системи найкращим чином апроксимує функцію, або, інакше кажучи, за яких величина приймає найменше значення.
Перетворимо вираз для d п , використовуючи послідовно теорему косинусів, властивість білінійну скалярного твори, узагальнену теорему Піфагора і формулу (3.1) для коефіцієнтів Фур'є:
В
.
Застосувавши тотожність, одержимо
В
З останнього вираження відразу випливає, що приймає найменше значення
, (3.3)
при
Таким чином, саме часткова сума ряду Фур'є є найкращою апроксимацією функції порівняно з іншими лінійними комбінаціями функцій
Вправа. Показати, що, по-перше, система функцій ортогональна на проміжку, і, по-друге, системи функцій і ортогональні на проміжку. p> Вказівка ​​. Скористатися властивостями скалярного добутку функцій.
В§ 4. Збіжність в середньому. Рівності Парсеваля
З формули (3.3) з урахуванням того, що величина по визначенням не негативна, слід
. (4.1)
Ліва частина нерівності (4.1) являє собою часткову суму позитивного числового ряду
. (4.2)
Позитивний ряд з обмеженими в сукупності частковими сумами сходиться, отже, сходиться і ряд (4.2). Пер...
