ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЙОМУ СИГНАЛІВ
1 Основні положення теорії оптимального прийому сигналів
Прийом сигналів - одна з найбільш складних теоретичних і інженерних задач передачі повідомлень. Складність полягає в тому, що в пункті прийому повідомлення необхідно витягати з модульованих сигналів-переносників, які в процесі проходження по лінії зв'язку не тільки послаблюються, а й піддаються впливів різних спотворюють факторів і перешкод.
Вельми бажано розташовувати методами прийому, які були б найкращими (оптимальними) в даних конкретних умовах. Напрямок, пов'язаний з відшукання таких методів, називається теорією оптимального прийому.
Теоретичною основою розв'язання задач оптимального прийому є теорія Байєса.
Нехай деяка випадкова фізична величина, яку назвемо причиною, може приймати безліч значень (результатів) П з щільністю ймовірностей р (П), яка вважається апріорної (заздалегідь відомою). Нехай причина викликає появу іншої випадкової величини - слідства С, яке також може приймати безліч значень. Щільність ймовірностей цих значень залежить від конкретних результатів причини. Тому ситуація описується безліччю умовних щільностей ймовірностей р (С/П).
Статистичним рішенням називають процедуру, яка полягає в тому, щоб, спостерігаючи конкретне наслідок, вказувати його причину. Так як спостережуване слідство може бути викликане будь-яким результатом причини П, то можна визначити щільність ймовірностей всіх можливих результатів, які могли викликати дане слідство, тобто визначити функцію р (П /). Ця функція називається апостеріорної (Післядосвідна, встановленої на основі що мав місце досвіду або спостереження) щільністю ймовірностей причин.
Основою для прийняття статистичного рішення є теорема Байєса
(1)
де р (С/П) - умовна щільність розподілу наслідків;
р (С) - безумовна щільність розподілу наслідків С, обумовлена ​​як
.
Значення цього інтеграла не залежить від П, оскільки інтегрування по цій змінній ведеться по всій області її існування Г.
З (1) випливає, що апостериорная щільність ймовірностей причини р (П/С) залежить від апріорної щільності ймовірностей причини р (П) і умовної щільності ймовірностей наслідків р (С/П). щільність р (С/П) є функцією П, її називають функцією правдоподібності.
У теорії статистичних рішень показано, що при ухваленні рішення про конкретне значення діяла причини, що викликала спостережуване (або заданий) слідство, найменшу помилку можна здійснити, якщо виносити рішення на користь того значення причини, при якій умовний розподіл р (П /) має найбільше значення. Таке правило прийняття рішення називається байєсівського. p> Якщо апріорна щільність р (П) невідома, то найбільше, що можна зробити - припустити рівномірність її розподілу. Тоді рішення буде виноситися в користь того значення причини, при якому функція правдоподібності р (С/П) для спостережуваного слідства приймає найбільше значення. Це означає, що таке значення причини вважається найбільш правдоподібним серед інших можливих значень. Подібна процедура прийняття рішення називається правилом максимальної правдоподібності.
Застосуємо викладений підхід до вирішення завдання оптимального прийому сигналів.
Суть процедури оптимального прийому. Встановлено, що між коливаннями і векторами можна встановити взаємно-однозначна відповідність. Тому замість коливань можна розглядати відповідні вектори. Виходячи з цього, будемо вважати причиною П випадковий вектор х, відповідний переданим повідомленнями (або однозначно пов'язаний з ним вектор сигналів s, що переносять ці повідомлення), а наслідком С - випадковий вектор у, відповідний суміші сигналу шуму на вході приймача. З урахуванням сказаного (1) можна записати або у вигляді
(2)
або в еквівалентному вираженню (2) вигляді
(3)
де x, s, y - вектори в багатовимірних просторах, відповідні повідомленнями x (t), сигналам s (t) = s [x (t), t] і вхідним реалізаціям y (t) = s (t) + n (t).
При передачі дискретних повідомлень безліч повідомлень x (t) може приймати тільки кінцеве число дискретних значень, якому однозначно відповідає кінцеве число розрізняються сигналів
Оптимальна процедура прийому полягає у визначенні величин р (s/y) для всіх М значень, порівняння цих величин між собою і виборі найбільшою з них. Значення, якому відповідає максимальна величина р (/ y)
вважається переданим сигналом і відповідно з цим на виході приймача відтворюється повідомлення.
Основна трудність при вирішенні такого завдання пов'язана з перебуванням апостеріорного розподілу р (s/y). Найбільш детально задача вирішена для перешкоди типу гауссівського білого шуму і набору сигналів, заздалегідь відомих в точці прийому. Якщо при цьому всі по...
