Федеральне державне освітня установа вищої професійної освіти
Тюменська державна сільськогосподарська академія
Салехардского філія
Математика
Салехард 2008
Тема 1. Елементи лінійної алгебри
.1 Визначник і його властивості
Визначення. Визначником квадратною матриці А =
називається число, яке може бути обчислене за елементами матриці за формулою:? A =.
Зауваження. Визначник можна обчислити тільки для квадратних матриць. p> Ухвала. Матриця, називається квадратною, якщо кількість її рядків дорівнює числу стовпців. p> Властивості визначників.
Свойство1. Визначник матриці А дорівнює визначнику матриці AT, транспонованою для матриці А.
? A =? AT;
Властивість 2.
? (A В± B) =? A В±? B.
Властивість 3. br/>
? (A * B) = A *? B
Властивість 4. Якщо у квадратній матриці поміняти місцями будь-які два рядки (чи шпальти), то визначник матриці змінить знак, не змінившись в абсолютній величині. p> Властивість 5. При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число. p> Властивість 6. Якщо в матриці А рядки або стовпці лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю. p> Властивість 7. Якщо матриця містить нульової стовпець або нульову рядок, те її визначник дорівнює нулю. (Дане твердження очевидно, тому що вважати визначник можна саме за нульовою рядку або стовпцю.) p> Властивість 8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів однієї з його рядків (шпальти) додати (відняти) елементи іншого рядка (стовпця), помножені на якесь число, не рівне нулю. p> Властивість 9. Якщо для елементів який-або рядки чи шпальти матриці вірно співвідношення: d = d1 В± d2, e = e1 В± e2, f = f1 В± f2, то вірно:
В
Приклад. Обчислити визначник матриці А =
В
= -5 + 18 + 6 = 19.
Приклад:. Дано матриці А =, В =. Знайти det (AB). p> 1-й спосіб:
A = +4 - +6 = -2; B = 15 - 2 = 13; (AB) = det A Г— det B = -26.
2 - й спосіб:
AB =,
det (AB) = 7 Г— 18 - 8 Г— 19 = 126 - 152 = -26.
1.2 Елементарні перетворення матриці
Визначення. Елементарними перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення: 1) множення рядка на число, відмінне від нуля, 2) додаток до елементів одного рядка елементів іншого рядка; 3) перестановка рядків; 4) викреслення (видалення) однієї з однакових рядків (стовпців), 5) транспонування; Ті ж операції, що застосовуються для стовпців, також називаються елементарними перетвореннями.
За допомогою елементарних перетворень можна до будь-якої рядку або стовпцю додати лінійну комбінацію інших рядків (стовпців).
Мінори.
Вище було використано поняття додаткового мінору матриці. Дамо визначення мінору матриці. p> Визначення. Якщо в матриці А виділити кілька довільних рядків і стільки ж довільних стовпців, то визначник, складений з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається мінором матриці А. Якщо виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s. p> Зауважимо, що вищесказане стосується не тільки до квадратних матрицям, але і до прямокутним.
Якщо викреслити з вихідної квадратної матриці А виділені рядки і стовпці, то визначник отриманої матриці буде додатковим мінором. Алгебраїчні доповнення. p> Визначення. Алгебраїчним доповненням мінору матриці називається його додатковий мінор, помножений на (-1) в ступені, що дорівнює сумі номерів рядків і номерів стовпців мінору матриці. p align="justify"> В окремому випадку, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, взятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпчика і рядка, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.
Теорема Лапласа. Якщо вибрано s рядків матриці з номерами i1, ..., is, то визначник цієї матриці дорівнює сумі творів усіх мінорів, розташованих у вибраних рядках на їх алгебраїчні доповнення. br/>
1.3 Еквівалентні матриці
Як було сказано вище, мінором матриці порядку s називається визначник матриці, утвореної з елементів вихідної матриці, що знаходяться на перетині яких - або обраних s рядків і s стовпців.
Визначення. У матриці порядку m'n мінор порядку r називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r +1 і вище дорівнюють нулю, або не існує зовсім, тобто r збігається з меншим із чисел m або n. p> Стовпці і рядки матриці, на яких стоїть базисний мінор, також називаються базисни...
