ми.
У матриці може бути кілька різних базисних мінорів, що мають однаковий порядок.
Визначення. Порядок базисного мінору матриці називається рангом матриці і позначається Rg А.
Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.
Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними. p align="justify"> Треба відзначити, що рівні матриці і евівалентние матриці - поняття абсолютно різні.
Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців в матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків. p align="justify"> Т.к. елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.
Приклад. Визначити ранг матриці. br/>
~ ~, RgA
. Приклад: Визначити ранг матриці. br/>
~ ~ ~, Rg = 2.
Якщо за допомогою елементарних перетворень не вдалося знайти матрицю, еквівалентну вихідної, але меншого розміру, то знаходження рангу матриці слід починати з обчислення мінорів найвищого можливого порядку. У наведеному вище прикладі - це мінори порядку 3. Якщо хоча б один з них не дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює порядку цього мінору. p> Теорема про базисному мінорі.
Теорема. У довільній матриці А кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базисний мінор. p align="justify"> Таким чином, ранг довільній матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) в матриці.
Якщо А-квадратна матриця і det A = 0, то принаймні один з стовпців - лінійна комбінація інших стовпців. Те ж саме справедливо і для рядків. Дане твердження випливає з властивості лінійної залежності при визначнику рівному нулю. br/>
1.4 Рішення довільних систем лінійних рівнянь
Як було сказано вище, матричний метод та метод Крамера застосовні тільки до тих систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь. p align="justify"> Визначення. Система m рівнянь з n невідомими в загальному вигляді записується наступним чином:
,
де aij - коефіцієнти, а bi - постійні. Рішеннями системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність. p> Визначення. Якщо система має хоча б одне рішення, то вона називається спільної. Якщо система не має жодного рішення, то вона називається несумісною. p> Визначення. Система називається визначеною, якщо вона має тільки одне рішення і невизначеною, якщо більше одного. p> Визначення. Для системи лінійних рівнянь матриця
А = називається матрицею системи, а матриця
А * = називається розширеною матрицею системи
Визначення. Якщо b1, b2, ..., bm = 0, те система називається однорідною. однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульове рішення.
1.5 Елементарні перетворення систем
До елементарних перетворень відносяться:
1) Додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на одне і те ж число, не рівне нулю.
) Перестановка рівнянь місцями.
) Видалення з системи рівнянь, які є тотожністю для всіх х.
Теорема Кронекера - Капелі (умова спільності системи).
(Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик)
Теорема: Система совместна (має хоча б один розв'язок) тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.
RgA = RgA *.
Очевидно, що система (1) може бути записана у вигляді:
x1 + x2 + ... + xn
Доказ.
1) Якщо рішення існує, то стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід А В® А * не змінюють рангу.
2) Якщо RgA = RgA *, то це означає, що вони мають один і той же базисний мінор. Стовпець вільних членів - лінійна комбінація стовпців базисного мінору, ті вірна запис, наведена вище. p> Приклад. Визначити спільність системи лінійних рівнянь:
=
~. RgA = 2. p> A * = RgA * = 3
Система несовместна.
Приклад. Визначити спільність системи лінійних рівнянь. br/>
А =; = 2 + 12 = 14 В№ 0; RgA = 2;
A * =
RgA * = +2.
Система совместна. Розв'язки: x1 = 1; x2 = 1/2. p> Тема 2. Елементи векторної алгебри
.1 Базис. Лінійна залежність векторів
Визначення.
) Базисом в просторі називаються будь-які 3 некомпланарних вектора, взяті...
