Модель авторегресії в кореляційної теорії
1. Принципи побудови моделі авторегресії
В основу моделі АР покладена кореляція відліку випадкового процесу в поточний момент часу з деяким кінцевим або нескінченним числом відліків в попередні моменти часу. Кореляційні зв'язку дозволяють здійснити регресію поточного відліку на попередні відліки.
Такий вид регресії називається авторегресії. У рівнянні АР поточний відлік представляється зваженою сумою попередніх з деякими коефіцієнтами ваги
, (1)
де - коефіцієнти АР, - некорельовані випадкові відліки, - порядок моделі АР.
Величина
, (2)
називається передбаченням випадкової величини. Різниця між поточним значенням відліку і його пророкуванням називається помилкою пророкування
. (3)
Величина характеризує, по суті, максимальну точність передбачення поточного відліку, а її статистичні властивості визначають вибір порядку моделі АР.
З (1) видно, що побудова АР моделі випадкового процесу зводиться до знаходження коефіцієнтів АР і визначенню порядку.
Помноживши праву і ліву частини (1) на , а потім усереднивши, можна отримати систему рівнянь
,, (4a)
, (4б)
де - значення функції кореляції випадкового процесу
- дисперсія помилок передбачення моделі АР, - дисперсія випадкового процесу. Набір рівнянь (4а) і (4б) називається повною системою рівнянь Юла - Уокера.
Рішенням цієї системи є коефіцієнти АР і дисперсія помилок передбачення. При виведенні рівнянь (4а) було враховано, що
,, , (5a)
,, . (5б)
Співвідношення (5) слідують з некоррелированности помилок передбачення. Рішення системи рівнянь (4а) можна представити в матричному вигляді
, (6a)
де
,,. (6б)
Як видно з (4а), рівняння не зміниться, якщо замість використовувати нормовані значення функції кореляції, які називаються коефіцієнтами кореляції. Очевидно, що при цьому параметри моделі АР залишаться колишніми. p> Як випливає з (6а, б), для першого порядку моделі АР
. (7)
Для моделі АР другого порядку коефіцієнти АР дорівнюють
,
. (8)
Зазначимо важлива властивість коефіцієнтів АР, на якому грунтується використання моделей передбачення в якості обіляють фільтрів. Коефіцієнти АР, розраховані за допомогою рівнянь Юла-Уокера (4а) мінімізують дисперсію помилки передбачення
. (9)
У цьому легко переконатися, продифференцировав (9) за , і прирівнявши похідну до нуля. При цьому отримана система рівнянь збігається з (4а).
Перевагою моделі АР є її конструктивність, яка полягає в можливості синтезу досить простим чином алгоритмів обробки випадкових процесів.
На рис. 1 представлений АР фільтр передбачення (обіляють фільтр), алгоритм дії якого описується виразом (3). Він складається з ліній затримки, підсилювачів з коефіцієнтами посилення, і суматора.
Помилки передбачення на виході цього фільтра будуть отсчетами білого шуму, а точніше некоррелірованнимі процесом. Дисперсія помилки передбачення на виході фільтра буде мати мінімальне значення, якщо коефіцієнти АР знайдені з рівняння (4а).
Порядок процесу АР визначається з використанням різних критеріїв, як правило, заснованих на мінімізації деякої теоретико-інформаційної функції. Для визначення порядку моделі користуються методами Бартлетта, Акайке, Парзена.
Порядок моделі можна знаходити з умови не убування дисперсії помилки передбачення при подальшому підвищенні порядку. Досить ефективним методом визначення порядку моделі АР є метод, заснований на перевірці близькості кореляційної функції випадкового процесу на виході обіляють АР фільтра до кореляційної функції білого шуму.
В
В В
Малюнок 1. АР фільтр передбачення
Процеси АР можна характеризувати кінцевим числом значень функції, яка визначається кореляційної функцією.
Така функція носить назва приватної автокореляційної функції. Її можна виразити через коефіцієнти АР, порядок яких змінюється від одиниці до. p> Т.к. коефіцієнт АР з номером покладається рівним нулю, то процес АР можна характеризувати кінцевим набором не рівні нулю коефіцієнтів АР, з номером рівним р для моделей АР з порядками від одиниці до - ,.
Тому значення приватної автокореляційної функції покладаються рівними,. Можна показати, що перші три значення приватної автокореляційної функції описуються виразами виду
,
,
. (10)
Перевагою приватної автокореляційної функції в порівнянні з автокорреляционной функцією є її кінцева довжина.
Як показав Бартлетт, значення приватної автокореляційної функції можна вваж...
