ати рівним нулю, якщо воно менше, де - довжина реалізації, за якою здійснювалася оцінка значень функції кореляції. Таким чином, по суті, проводиться оцінка порядку моделі АР.
2. Спектр процесу авторегресії
Формула для знаходження спектру моделі АР лежить в основі параметричного спектрального оцінювання.
Для її виведення будемо розглядати процес АР як реакцію формуючого фільтра, на вхід якого подаються некорельовані відліки.
Можна показати, що-перетворення передавальної функції АР фільтра має вигляд
, (11)
де
,. (12)
-перетворення СПМ вихідного і вхідного процесів пов'язані співвідношенням
. (13)
Щоб знайти СПМ вихідного АР процесу необхідно в (13) зробити заміну і покласти, що для білого шуму - постійна величина.
Тоді з (13) випливає вираз для параметричної оцінки СПМ
. (14)
Вираз (14) широко використовується в параметричному методі спектрального оцінювання.
В якості параметрів, повністю характеризують спектральну оцінку випадкового процесу, виступають коефіцієнти АР і порядок моделі.
Параметричне спектральне оцінювання володіє рядом переваг в порівнянні з традиційними методами спектрального оцінювання. До них відносяться: більш високе спектральне дозвіл при використанні коротких вибірок, відсутність бічних пелюсток.
За допомогою моделі АР можна отримувати спектральні оцінки випадкових процесів зі складною формою СПМ.
Для цього може бути доведеться використовувати моделі АР великого порядку. На основі моделі АР легко синтезуються оптимальні фільтри придушення, узгоджені не тільки по частоті і смузі спектра, а й за формою спектру випадкового процесу.
Перевагою формули (14) є можливість аналізувати СПМ в аналітичному вигляді, що неможливо зробити при використанні традиційних методів спектрального оцінювання на основі перетворення Фур'є.
Наприклад, можна знайти формули для визначення частоти максимумів і мінімумів СПМ.
Щоб визначити положення максимуму або мінімуму АР оцінки СПМ, потрібно взяти похідну від (14) по і прирівняти її до нуля. Коріння отриманого рівняння визначають положення екстремумів функції СПМ.
При, можна показати, що
, (15)
де - частота на якій знаходиться максимум СПМ.
3. Характеристичне рівняння моделі авторегресії
Модель АР, описувана рівнянням (1), може бути представлена ​​в операторної формі
, (16)
де оператор АР має вигляд
. (17)
Дія оператора зсуву z на поточний відлік описується таким чином
. (18)
З умови стійкості формуючого АР фільтра з раціональної передавальної функцією (11), слід умова стаціонарності АР процесу. Для перевірки стаціонарності випадкового АР процесу використовується характеристичне рівняння
. (19)
Якщо коріння характеристичного рівняння (19) лежать всередині одиничного кола на комплексній площині, то процес АР задовольняє умові стаціонарності і його кореляційна функція стационарна. Характеристичне рівняння (19) можна представити також у вигляді
. (20)
Тоді умова стаціонарності полягає в тому, що коріння характеристичного рівняння (20) повинні лежати поза одиничного кола на комплексній площині.
Використовуючи (19) або (20) оператор АР (17) можна представити у вигляді
. (21)
З (21) випливає, що рівняння АР (1) можна записати наступним чином
. (22)
Порівнюючи (1) і (22) знайдемо зв'язок між коефіцієнтами АР і корінням характеристичного рівняння (20). Наведемо відповідні формули для:
, (23a)
;
, (23б)
;
;
, (23в)
;
;
;
, (23г)
де перший індекс у квадратних дужках вказує на відповідний порядок моделі.
Отримані формули виявляються дуже корисними для визначення коефіцієнтів АР за заданими характеристиками випадкового процесу.
Зазначимо, що коріння характеристичного рівняння повністю описують модель АР.
Властивості моделі залежать параметрів, через які вони виражаються. Якщо корінь дійсний, то його можна представити у вигляді експоненційної функції
, (24а)
де - коефіцієнт демпфірування рівний, а-ширина смуги-го піку СПМ.
Тоді дійсні корені характеристичного рівняння приймають вигляд
. (24б)
Комплексні коріння характеристичного рівняння описуються виразами
,, (25)
де - власна частота моделі АР з поправкою на демпфірування, відповідна-тому піку СПМ.
4. Генерація корельованого вип...
