Задача 1
Нафтопереробний завод має двома сортами нафти:
сортом А в кількості 10 одиниць,
сортом В - 15 одиниць.
При переробці з нафти виходять два матеріали: бензин (Позначимо Б) і мазут (М). p> Є три варіанти технологічного процесу переробки:
I: 1ед.А + 2ед.В дає 3ед.Б + 2ед.М
II: 2ед.А + 1ед.В дає 1ед.Б + 5ед.М
III: 2ед.А + 2ед.В дає 1ед.Б + 2ед.М
Ціна бензину - 10 дол за одиницю, мазуту - 1 дол за одиницю. p> Визначити найбільш вигідне поєднання технологічних процесів переробки наявної кількості нафти. p> Рішення
"вигідність" - отримання максимального доходу від реалізації продукції
"вибір (прийняття) рішення" полягає у визначенні того, яку технологію і скільки разів застосувати. p> Позначимо невідомі величини:
х i -кількість використання i-го технологічного процесу (i = 1,2,3). p> Інші параметри моделі (запаси сортів нафти, ціни бензину і мазуту) відомі . p> Для вектора х = (х 1 , х 2 , х 3 ),
виручка заводу дорівнює (32х 1 +15 х 2 +12 х 3 ) дол
Тут 32 дол - це дохід, отриманий від одного застосування першого технологічного процесу (10 дол В· 3ед.Б + 1 дол В· 2ед.М = 32 дол). p> Аналогічний сенс мають коефіцієнти 15 і 12 для другого і третього процесів. p> Облік запасу нафти призводить до наступним умовам:
для сорту А:
для сорту В:,
де в першому нерівності коефіцієнти 1, 2, 2 - це норми витрати нафти сорту А для одноразового застосування технологічних процесів I, II, III відповідно. p> Математична модель
Знайти такий вектор х = (х 1 , х 2 , х 3 ), щоб
максимізувати f (x) = 32х 1 +15 х 2 +12 х 3
при виконанні умов:
В В
. br/>
Скорочена запис:
В
Отримали завдання лінійного програмування. p> Модель (1.4.2.) є прикладом оптимізаційної моделі детермінованого типу (з цілком певними елементами). br clear=all>
На будинок
Приклад. Інвестору потрібно визначити найкращий набір з акцій, облігацій та інших цінних паперів для придбання їх на деяку суму з метою отримання певного прибутку з мінімальним ризиком для себе. Прибуток на кожен долар, вкладений в цінну папір j - го виду, характеризується двома показниками: очікуваним прибутком і фактичної прибутком. Для інвестора бажано, щоб очікуваний прибуток на один долар вкладень була для всього набору цінних паперів не нижче заданої величини b. p> Позначимо відомі параметри завдання:
n - число різновидів цінних паперів;
а j - фактична прибуток (випадкове число) від j-го виду цінного паперу
j - очікуваний прибуток від j-го виду цінного паперу. p> Позначимо невідомі величини :
y j - кошти, виділені для придбання цінних паперів виду j. p> За нашими позначенням вся інвестована сума виражається як
Для спрощення моделі введемо нові величини
В
Таким чином, х i - Це частка від усіх коштів, що виділятимуться для придбання цінних паперів виду j. p> Ясно, що
В
З умови задачі видно, що мета інвестора - досягнення певного рівня прибутку з мінімальним ризиком.
Змістовно ризик - це міра відхилення фактичного прибутку від очікуваної. Тому його можна ототожнити з ковариацию.
В
прибутку для цінних паперів виду i та виду j. Тут М - позначення математичного очікування. p> Математична модель
min
при обмеженнях
В
Отримали модель Марковіца для оптимізації структури портфеля цінних паперів. p> Модель (1.4.3.) є прикладів оптимізаційної моделі стохастичного типу (з елементами випадковості). br clear=all>
Задача 2
Бройлерні господарство птахівничої ферми налічує 20000 курчат, які вирощуються до 8-тижневого віку і, після відповідної обробки, надходять у продаж. Хоча тижневий витрата корму для курчат залежить від їх віку, надалі будемо вважати, що в середньому (за 8 тижнів) він становить 1 фунт. p> Для того щоб курчата досягли до восьмому тижні необхідних вагових кондицій, кормовий раціон повинен задовольняти певним вимогам за поживністю. Цим вимогам можуть відповідати суміші різних видів кормів, або інгредієнтів. В якості інгредієнтів розглянемо три: вапняк, зерно і соєві боби. Вимоги до поживності раціону сформулюємо, враховуючи три види поживних речовин: кальцій, білок і клітковину. У таблиці наведені дані, що характеризують зміст (за вагою) поживних речовин в кожному з інгредієнтів і питому вартість кожного інгредієнта. Зауважимо, що вапняк не містить ні білка, ні клітковини. br/>В
Суміш повинна містити:
1. не менше 0,8%...
