Завдання № 2
Дана Т - періодична функція f (t)
В
Обгрунтувати можливість розкладання f (t) у ряд Фур'є, встановити вид збіжності ряду Фур'є до f (t)
Дана функція f (t) задовольняє умовам теореми Діріхле:
Теорема Діріхле: Якщо Т - періодична функція f (t) задовольняє умовам Дирихле на якому або замкнутому інтервалі довжиною Т:
В· безперервний або має кінцеве число точок розриву першого роду
Ряд Фур'є сходитися на всій осі t і сума ряду Фур'є одно f (t) у всіх точках безперервності цієї функції в точці t 0 розриву першого роду функції f (t) сума ряду Фур'є дорівнює
В
дана функція f (t) задовольняє умовам збіжності в середньому.
Ознака Ляпунова: Якщо Т - періодична функція f (t) задовольняє умовам для
В
кусково-неперервна і інтегровна з квадратом, то ряд Фур'є сходитися Середньоквадратичний до f (t). br/>В
Уявити задану функцію тригонометричним рядом Фур'є, попередньо обчислити коефіцієнти ряду Фур'є.
В
Побудувати амплітудний і фазовий спектри функції.
В
Визначити число гармонік розкладання функції в ряд Фур'є, що містять у сумі не менше 90% енергії.
Щоб визначити число гармонік, що містять у сумі не менше 90% енергії, спочатку розрахуємо енергію вноситься кожної гармонікою окремо за наступною формулою:
В
сума перших 5-й гармонік дає більше 90%
Обчислити середньоквадратичнепомилку між вихідною функцією f (t) і часткової сумою Фур'є для t, що належать проміжку завдання f (t).
середньоквадратичнепомилку можна обчислити за такою формулою:
В
Побудувати графіки заданої функції і часткової суми ряду Фур'є для значень t, що належать проміжку завдання f (t), взявши число гармонік, визначених у пункті № 5.
Побудуємо вихідну функцію і часткову суму ряду Фур'є (90%)
В
В
Побудувати графік квадрата відхилень функції і часткової суми ряду для t з проміжку завдання f (t).
В
Побудуємо: квадрат відхилень функції і часткову суму ряду Фур'є.
В
Задача № 3
Для функції, заданої на кінцевому інтервалі, побудувати періодичне продовження заданим чином. br/>
В
В
[0,1] (парне)
Побудуємо періодичне продовження. Так як функція парна, то графік її буде симетричний щодо осі Оу
В
Обгрунтувати можливість розкладання f (t) у ряд Фур'є, встановити вид збіжності ряду Фур'є до f (t).
Дана функція f (t) задовольняє умовам теореми Діріхле:
Теорема Діріхле: Якщо Т - періодична функція f (t) задовольняє умовам Дирихле на якому або замкнутому інтервалі довжиною Т:
В· безперервний або має кінцеве число точок розриву першого роду
В· монотонності або має кінцеве число максимумів і мінімумів
Ряд Фур'є сходиться на всій осі t і сума ряду Фур'є одно f (t) у всіх точках безперервності цієї функції в точці t0 розриву першого роду функції f (t) сума ряду Фур'є дорівнює дана функція f (t) задовольняє умовам збіжності в середньому.
Теорема Вейєрштрасса: якщо Т - періодична функція f (x) на якому-небудь замкнутому інтервалі. Наприклад [-T/2, T/2] задовольняє умовам: безперервності і f (-T/2) = f (T/2), то тригонометричний ряд Фур'є сходитися до f (x) рівномірно. p> Уявити задану функцію тригонометричним рядом Фур'є, попередньо:
б) обчислити коефіцієнти ряду Фур'є.
В
Побудувати амплітудний і фазовий спектри функції.
В
Визначити число гармонік розкладання функції в ряд Фур'є, що містять у сумі не менше 90% енергії.
В
Обчислити середньоквадратичнепомилку між вихідною функцією f (t) і часткової сумою Фур'є для t, що належать проміжку завдання.
середньоквадратичнепомилку можна обчислити за такою формулою:
В
1. Побудувати графіки заданої функції і часткової суми ряду Фур'є для значень t, що належать проміжку завдання f (t), взявши число гармонік, визначених у пункті № 5.
В
Побудувати графік квадрата відхилень функції і часткової суми ряду для t з проміжку завдання f (t).
середньоквадратичний фур'є гармонік амплітудний
В
