Поздовжні акустичні хвилі в рідких і газоподібних середовищах
1. Основні величини
Зупинимося спочатку на фізичних величинах, що характеризують звукове поле в газах і рідинах. Наявність областей стиснення і розрідження середовища призводить до того, що тиск і щільність в кожній точці будуть змінюватися згідно хвильовому процесу. Змінні тиск і щільність середовища представимо у вигляді. br/>В
де - постійні рівноважні тиску і щільність (у відсутності хвилі),
- миттєві тиск і щільність, які в моменти стиску середовища більше, в моменти розрядження менше;
- змінні тиск і щільність самої акустичної хвилі
()
У звуковому діапазоні на частоті
В
(вухо людини вельми чутливо до цієї частоті)
амплітуда акустичного тиску на порозі чутності вуха (слабкий звук)
.
На тій же частоті на порозі больового відчуття (сильний звук) амплітуда акустичного тиску Па. У системах зв'язку та мовлення мають справу з акустичним тиском, амплітуда якого, принаймні, в тисячу разів менше, ніж нормальний атмосферний тиск. p> Так як тиск неоднаково в сусідніх точках середовища, то її частинки прагнуть зміститися у бік мінімального тиску, і виникає коливальний рух частинок біля свого положення рівноваги. Коливальну швидкість часток представимо у вигляді:
,
де - зміщення коливної частинки відносно положення рівноваги.
Коливальна швидкість частинок значно менше швидкості поширення акустичної хвилі. На частоті рівній
при амплітуді акустичного тиску (поріг
больового відчуття) амплітуда коливальної швидкості, а зсув. Ставлення швидкості частинок до швидкості хвилі називається акустичним числом Маха. br/>В
де - швидкість акустичної хвилі.
Акустичне число Маха завжди менше одиниці. При швидкості звуку в повітрі при температурі 18 В° C і коливальної швидкості маємо, тобто мала величина навіть при такому сильному звуці. p> Три величини - акустичні тиск і щільність, коливальна швидкість (гідродинамічні параметри), змінюючись в часі і в просторі, визначають хвильовий процес у пружних рідких і газоподібних середовищах.
. Основні рівняння
Розглянуті вище величини входять в хвильові рівняння, які є наслідком рівнянь гідродинаміки, останні розглянемо в короткій формі. Середа безмежна і ідеальна, тобто без урахування втрат, пов'язаних з в'язкістю і теплопровідністю середовища. Рівняння руху суцільного середовища (рівняння Ейлера):
(1)
Рівняння безперервності (закон збереження маси речовини):
(2)
Запишемо ці рівняння для звукових хвиль малої амплітуди, представивши змінне тиск і щільність у вигляді:
(3)
Зміни тиску і щільності в звуковій хвилі малі (,). Підставляючи (3) у вихідні рівняння (1) і (2) і нехтуючи величинами другого порядку малості відносно, отримаємо лінеаризовані рівняння гідродинаміки для акустичних величин:
Рівняння руху суцільного середовища (рівняння Ейлера):
(4)
Рівняння безперервності (закон збереження маси речовини):
(5)
Останнє рівняння, яке замикають систему рівнянь гідродинаміки тобто рівняння стану. Малі обурення тиску і щільності в акустичній хвилі пов'язані співвідношенням
(6)
Рівняння (6) у лінійній формі (для малих деформацій) є рівняння пружності Гука при всебічному стисканні
(7)
де - модуль об'ємної пружності.
Підставимо вираз з (6) в рівняння безперервності (5), отримаємо
(8)
Так як коливальна швидкість мала, то в великому числі випадків вихровий рух відсутній і. З цієї причини коливальна швидкість може бути представлена ​​у вигляді градієнта скалярного потенціалу
(9)
Підставляємо (9) в рівняння руху середовища (4)
,
знайдемо вираз, що пов'язує акустичний тиск і скалярний потенціал
(10)
коливальних швидкість (9) і звуковий тиск (10) підставляємо в рівняння (8) і отримуємо хвильове рівняння для скалярного потенціалу
(11)
де - фазова швидкість акустичної хвилі
(12)
З урахуванням виразу (7) отримуємо формулу для розрахунку швидкості поздовжньої акустичної хвилі
(13)
Це вираз залишається справедливим і для розрахунку швидкості поздовжньої хвилі в твердому середовищі. При температурі t = 0 В° C в повітрі Па,
кг/м3, С = 331,2 м/с; у воді Па, кг/м3, С = 1500 м/с;
в сапфірі Па, кг/м3, С ...
