ь собою систему, що складається з чотирьох диференціальних рівнянь щодо радіусів бульбашок, координат їх центрів
;
;
;
;
Методика рішення
Маючи чотири рівняння другого порядку щодо радіуса і положення центру бульбашок. Вводимо заміну, щоб позбавиться від другого порядку, і запишемо рівняння 1 ого порядку:
В
Отримуємо систему 8-і рівнянь 1-го порядку щодо радіуса, положення центру бульбашок, швидкість зміни радіусів і положення центру бульбашок.
;
() /;
/;
/;
/;
/;
/;
В
;
() /;
() /;
() /;
/;
/;
() /;
В
;
/;
0;
() /;
() /;
/;
() /;
В
;
/;
0;
() /;
() /;
/;
() /;
В
Звідси отримуємо дані рівняння в наступному вигляді:
В
Вирішимо рівняння методом послідовних наближень.
У нульовому наближенні дані рівняння записуються щодо радіуса і положення центру бульбашок.
В
Підставляючи вирази, знаходимо рівняння нульового наближення:
В
У першому наближенні рівняння записуються щодо радіуса, положення центру бульбашок, швидкість зміни радіусів і положення центру бульбашок. Отримане перше наближення додаємо до нульового наближенню. І так знаходимо до п'ятого наближення. <В В В В В В
Виходячи з цього, можемо записати наступну систему:
В
Отримані диференційні рівняння вирішуються методом Дортсмана-Прінса восьмому ступені точності. (Програма наведена нижче). br/>
Дослідження взаємодії двох радіально пульсуючих бульбашок газу в рідині
Для обліку впливу в'язкості і стисливості рідини проводимо наступну модифікацію математичної моделі. (За аналогією з роботою Дойникова [?]).
1. З урахуванням стисливості рідини отримаємо наступні рівняння:
;
;
Рішення для нульового наближення для одного бульбашки
;
Вводимо заміни :
;;; ;
==;
- початковий тиск газу в бульбашці;
;-тиск газу в бульбашці.
В В В
А - константа Ван-дер-Ваальса;
- коефіцієнт поверхневого натягу;
- тиск газу в бульбашці;
- статичне тиск в рідині;
- Початковий радіус бульбашки;
R - Радіус бульбашки;
- Центр бульбашки;
u - Вектор швидкості рідини;
В
-тиск в рідині на великому видаленні від бульбашки, де
- амплітуда і частота коливань тиску. Розглядається лише один період коливань ().
В
- Щільність рідини;
- Швидкість звуку в рідини;
- Кінематичний коефіцієнт в'язкості
- відстань між бульбашками .
;
;
Позначимо доданки і сомножители через:,,,,:
;;;
;;
;
;
Додаємо друге рівняння: = 0 =>
;
;
Додаємо рівняння другого бульбашки
;
;;; ==;
;
;
;;;
;;
;
;
Додаємо друге рівняння: = 0 =>
;
;
В
Рішення для першого наближення одного пухирця
;
;
В
;
;
();
;
В
Додаємо рівняння другого бульбашки
;
;
В
;
;
;
В
Рішення для другого наближення одного пухирця
;
/
;
;
();
;
;
В В
Додаємо рівняння другого бульбашки
;
В
;
;
;
;
;
В В В В
Рішення для третього наближення одного пухирця
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
В В
Додаємо рівняння другого бульбашки
;
В
;
В
;
;
;
;
;
;
В
В
Рішення для четвертого наближення одного пухирця
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;
В
Додаємо рівняння другого бульбашки
;
В
;
;
;
;
;
;
;
;
;
В В
В
Рішення для п'ятого наближення одного пухирця
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
В В
Додаємо рівняння другого бульбашки
;
В
;
;
;
В
;
;
В
;
;
;
;
В В В
2. Для дослідження додаємо в'язкіс...
