ЗМІСТ
Введення. 2
Глава 1. Коливання кристалічної решітки. 3
1.1.Одномерная ланцюжок з одним атомом у клітинці. 4
1.2.Одномерная ланцюжок з двома атомами у примітивній комірці. 11
1.3. Тривимірний кристал. 13
Глава 2. Фонони. Фононний газ. 16
Глава 3. Акустична і оптична гілки коливань. 19
Рішення зі знаком'' мінус'' 19
Рішення зі знаком'' плюс''. 22
Глава 4. Енергія коливань і теплоємність кристалічної решітки. 26
4.1. Модель Ейнштейна. 27
4.2. Модель Дебая. 27
Висновки .. 34
Список використаних джерел .. 35
В
Введення
Однією з важливих і складних задач теорії твердого тіла є розрахунок теплоємності і теплопровідності твердого тіла. Для твердих тіл в рамках класичної механіки були отримані значення теплоємності, які лише приблизно були рівні реальних значень теплоємності при нормальних температурах. При підвищених температурах і при температурах наступних до абсолютного нуля значення теплоємності виявилися залежні від температури, чого класична теорія пояснити не могла. Лише використання квантової теорії змогло пояснити цю залежність. p> Для знаходження величин теплоємності і теплопровідності твердих кристалічних тіл у широкому температурному діапазоні вводять поняття фононів - квазічастинок, які поширюються у твердому тілі.
До даній роботі ми розглянемо явища коливань кристалічної решітки, які і є фононами та їх види залежно від будови речовини. Також розглянемо процеси розсіювання за участю акустичних і оптичних фононів.
В
Глава 1. Коливання кристалічної решітки
В
Кристалічна структура - рівноважний стан системи атомів, що відповідає мінімуму потенційної енергії. У стані спокою сума сил, діючих на кожен атом кристала з боку інших атомів, дорівнює нулю. p> Якщо вивести цю систему з положення рівноваги, в кристалі виникнуть складні коливання. Ці коливання, зокрема, завжди є при кінцевої температурі, коли кристалічна структура володіє певною (теплової) енергією, тобто не перебуває у стані статичної рівноваги. p> Розглянемо коливання грати в рамках класичної механіки. p> При зсуві атома щодо інших атомів кристала виникає сила, яка прагне повернути його в рівноважний стан. Якщо зміщення невеликі, ми можемо розкласти залежність сили від зсувів в ряд і обмежиться лінійними по зсувах членами. Тоді коливання кристалічної решітки будуть лінійними, тобто будуть описуватися системою лінійних диференціальних рівнянь. p> Така система рівнянь має важливу властивість: якщо є кілька рішень, то їх сума також є рішенням і сума двох можливих коливань - теж коливання. p> Ця система може бути вирішена, якщо відома залежність сили, що діє на атом, від його зміщення, а основні характеристики лінійних коливань можуть бути передбачені на підставі одних тільки властивостей симетрії кристала. p> Щоб показати головні риси лінійних коливань кристалічної решітки, ми розглянемо найпростіший випадок одновимірного кристала - одновимірну ланцюжок атомів. <В В
1.1 Одновимірна ланцюжок з одним атомом у клітинці
В
Розглянемо одновимірну періодичну ланцюжок атомів - одновимірний кристал з одним атомом в елементарній комірці. Нехай період цього ланцюжка дорівнює a . Тоді в стані рівноваги координата n -го атома ланцюжка x n дорівнює na . br/>В
Рис. 1.1. Одновимірна ланцюжок з одним атомом в елементарній комірці.
В
Позначимо через u n зсув n -го атома з положення рівноваги. Будемо вважати, що атоми взаємодіють тільки з найближчими сусідами. Сила, з якою ( n +1)-й атом діє на n -й залежить від різниці зсувів цих двох атомів u n +1 - u n . При невеликих зсувах цю силу можна вважати пропорційною різниці зсувів: де Оі - коефіцієнт пропорційності. Зручно уявити, що атоми пов'язані один з одним пружинками з жорсткістю Оі . p> На рис.1.1 пружинка між n -м і n +1-м атомами розтягнута, так що вона діє на n -й атом у позитивному напрямку. Розтягнута пружинка між n -1-м і n -м атомом діє на n -й атом у негативному напрямку: p> Запишемо закон Ньютона для n -го атома ланцюжка:
(1). br/>
Перший доданок в правій частині - сила, що діє на n -й атом з боку n +1- го атома, друге - сила, що діє з боку n -1-го атома. p> Після спрощення отримаємо:
(2). br/>
Система таких рівнянь, записаних для кожного атома, повністю описує коливання ланцюжка. p> Якщо розглядати тільки довгохвильові коливання, тобто коливання з довжиною хвилі багато більшою періоду ланцюжка a , то можна замінити різниця u n +1 <...
