/sub> - u n на (∂ u n /∂ x ) a , а величину, стоїть в правій частині (2) - на Оі a 2 (∂ 2 u /∂ x 2 ). В результаті отримаємо хвильове рівняння:
(3). <В
Рішенням якого є хвилі u = A exp ( ikx - iП‰ < i> t ) з лінійним законом дисперсії П‰ = | k | (звукові хвилі). Тут - швидкість звуку:. Але ми вирішимо завдання точно і розглянемо коливання з усіма можливими довжинами хвиль. p> Будемо шукати коливання, що залежать від часу за гармонійному закону: u n = C n e - iП‰ t (5). p> Тут П‰ - частота коливань, одна і та ж для всіх атомів (такі коливання називаються гармонійними). C n - Комплексна амплітуда коливань n -го атома. Нагадаємо, що коливання описує речова частина рівняння (5), але технічно зручно користуватися комплексним рішенням. p> Така підстановка - стандартний метод рішення лінійних систем рівнянь з постійними коефіцієнтами. У силу лінійності рівнянь, коливання з довільною тимчасової залежністю може бути розкладено в інтеграл (ряд) Фур'є за гармонійним коливанням. p> З рівняння (2) для амплітуди C n отримуємо рівняння:
(6). br/>
Ці рівняння утворюють нескінченну систему лінійних рівнянь. Якщо застосувати до ланцюжку граничні умови Борна-Кармана, то система буде кінцевою. (Зауважимо, що умови Борна-Кармана в одновимірному випадку еквівалентні тому, що ланцюжок достатньо великої довжини L замкнута в кільце). Тоді, прирівнявши визначник нулю, можна знайти частоти коливань, а потім, вирішивши систему рівнянь для кожної із знайдених частот - відповідні амплітуди. p> Але ми зробимо інакше. Будемо шукати рішення у вигляді плоскої хвилі:
(7). br/>
Підставивши цей вираз в (6), отримаємо:
(8)
Розділимо останнє рівняння на exp ( ikx n ) і скористаємося тим, що x n +1 = x n + a , x n -1 = x n - a : (9). br/>
Таким чином, підстановка у вигляді плоскої хвилі виявилася вірною: ми позбулися номери атома n і отримали рівняння, зв'язує П‰ і k , тобто рівняння, що визначає закон дисперсії хвиль. br/>
Оскільки: (10), то (11).
Ми отримуємо закон дисперсії для пружних коливань одновимірної ланцюжка: (12).
Отже, ми прийшли до висновку, що зміщення атомів при коливанні одновимірної ланцюжка описуються плоскою гармонійної хвилею:
(13). br/>
Точніше, коливання являють собою довільну суму таких хвиль. Тут П† - фаза комплексної амплітуди A : A = | A | exp ( iП† ). Зсув - речова величина, яка описується дійсною частиною комплексної плоскої гармонічної хвилі, що явно записано в (13). Надалі, при описі речових коливань комплексної плоскої хвилею, будемо для стислості опускати позначення дійсної частини. p> Хвильовий вектор k в плоскій хвилі (13) може, взагалі кажучи, бути будь-яким. Але внаслідок дискретності ланцюжка ( x n може приймати лише дискретний набір значень na ) плоскі хвилі, хвильові вектора яких відрізняються один від одного на довільний вектор оберненої решітки 2 ПЂ l / a , описують одне і те ж коливання. (Тут l - будь-яке ціле число). p> Дійсно, так як x n = na , т:
(14). br/>
Тому досить розглядати хвильові вектора, що лежать в першій зоні Бріллюена - ПЂ / a < k < ПЂ / a . Крайні значення хвильового вектора В± ПЂ / a відповідають одному і того ж коливанню з мінімальною довжиною хвилі О» = 2 ПЂ / k = 2 a . При такій довжині хвилі сусідні атоми ланцюжка рухаються в протифазі. Інтуїтивно ясно, що коротше довжина хвилі бути вже не може. p> Графік залежності П‰ ( k ) для одновимірної ланцюжка з одним атомом у примітивній комірці зображений на рис. 1.2. br/>
В
Рис. 1.2. Закон дисперсії коливань ланцюжка з одним атомом у примітивній комірці.
Обговоримо тепер особливості закону дисперсії (12). p> Важливим його властивістю є те, що частота хвиль, розповсюджуються по ланцюжку, обмежена частотою. Щоб оцінити цю частоту, треба знати порядок величини постійної Оі . p> Подивимося на розмірність Оі . Сила F дорівнює твору Оі на зміщення u , тому:
(15). br/>
Характерна довжина, міжатомна відстань a , має порядок 1A = 1...
