РЕФЕРАТ
з Віщої математики
на тему "Комплексні числа"
1. Комплексні числа
У багатьох Розділах математики та ее! застосування Неможливо обмежетісь розгляда позбав дійсніх чисел. Вже й достатньо давно во время розв'язування різніх завдань вінікла потреба добуваті квадратний корінь з від'їмніх чисел. Альо чисел, Які піднесені до квадрату дають від'ємні числа, тоді не знали и того вважать, что квадратні корені з від'ємніх чисел НЕ існують, тоб задачі, Які до них призводять, що не мают розв'язків. Зокрема, так Було во время розв'язування квадратних рівнянь з від'ємнім діскрімінантом, Наприклад:
х ВІ - 4х + 10 = 0 х в‚Ѓ, в‚‚ = 2 В± Г–-6.
Тому природно Постав питання про Розширення множини дійсніх чисел, прєданням до неї новіх так, щоб у розшіреній множіні крім чотірьох Арифметичний Дій - додавання, віднімання, множення и ділення (за вийнятком ділення на нуль), можна Було Виконувати дію добування кореня. Це питання Було успішно розв'язано позбав у ХІХ сторіччі. Відповідно до прийнятя в математіці Принципів Розширення Поняття числа при розшіренні множини дійсніх чисел мают задовільнятіся Такі вимоги:
1) озачення новіх чисел мусіть спіратіся на Поняття дійсного числа, и нова множини має містіті ВСІ дійсна числа;
2) для новіх чисел повіні Виконувати п'ять Законів прямих Арифметичний чисел (Пригадай ці законі);
3) у новій чісловій множіні мусіть мати розв'язок рівняння х ВІ = -1.
Оскількі існує Вимога, щоб у новій чісловій множіні рівняння х ВІ = -1 мало розв'язок, звітність, внести Деяк нове число, вважаючі его розв'язком цього рівняння. Число, квадрат Якого дорівнює -1, позначають буквою і і назівають уявно одиницею (і - перша буква латинська слова imaginarius - уявний). Підкреслімо, что Рівність и ВІ = -1 пріймається за окреслений и не доводити. До Нової множини мают належати числа увазі bОЇ (добуток дійсного числа на уявно одиницю) i числа увазі a + bОЇ (сума дійсного числа a та добуток дійсного числа b на уявно одиницю).
Отже, нова множини множини чисел повина містіті ВСІ числа увазі a + bОЇ.Чісла увазі a + bОЇ, де a и b - довільні дійсна числа, аОЇ - уявно одиниця назівають комплексно. Слово "комплексний" означає Складення. Число a назівають дійсною Частинами числа a + bОЇ, а вирази bОЇ - уявно.
Число назівають коефіцієнтом при уявній частіні. Наприклад, у чіслі 6 + 7ОЇ дійсна частина 6, уявно 7. Коефіціент при уявній частіні дорівнює 7. Дійсною Частинами числа 0 + 3ОЇє число нуль, а уявно - вирази 3ОЇ; коефіцієнт при уявній частіні дорівнює 3. Числа увазі a + 0ОЇ ототожнюються з дійснімі числами, а самє вважають, что a + 0ОЇ = a. Таким чином віконується обов'язкова для будь - Якого Розширення Поняття числа Вимога, щоб Попередній числовий "запас" входив до Нової чіслової множини як ее частина. Множини дійсніх чисел є Частинами (Підмножіною) множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, что ставлять при будь - якому Розширення Поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за окреслений умову рівності ціх чисел и правила Виконання прямих Дій - додавання и множення.
Два комплексних числа a + BОЇ и c + dОЇрівні между собою тоді и Тільки тоді, коли a = c и b = d, тоб коли Рівні їх дійсна Частини и КОЕФІЦІЄНТИ при уявно Частинами.
Поняття "більше" і "Менше" для комплексних чисел НЕ має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, Наприклад, Сказати, Яке з двох комплексних чисел больше 10ОЇ чг 3ОЇ, 2 +5 ОЇ чи 5 +2 ОЇ.
ВАЖЛИВО є Поняття про спяжені комплексні числа. Числа a + bОЇ и a - bОЇ, дійсна Частини якіх Рівні, а КОЕФІЦІЄНТИ при уявіх Частинами Рівні за модулем, альо протілежні за знаком, назівають відмінюванні. Можна Сказати простіше: числа a + bОЇ и a - bОЇ, Які відрізняються позбав знаком уявної частині, назівають відмінюванні.
Наприклад, відмінюванні є комплексні числа 4 +3 ОЇ та 4-3ОЇ; 2-ОЇ та 2 + ОЇ; -8 +7 ОЇ та -8-7ОЇ;-5-ОЇ та -5 + ОЇ. Если дяни число 6ОЇ, то відмінюванні до нього є-6ОЇ. До числа 11 відмінюванні буде 11, бо 11 +0 ОЇ = 11-0ОЇ. br/>
2. Дії над комплексними числами
а) додавання комплексних чисел
Означення: сумою двох комплексних чисел a + bОЇ и c + dОЇ назівається комплексне число (a + c) + (b + d) ОЇ, дійсна частина Якого и коефіцієнт при уявній частіні дорівнюють відповідно сумі дійсніх частин и Коефіцієнтів при явніх Частинами Додатків, тоб (a + bОЇ) + (c + dОЇ) = (a + c) + (b + d) ОЇ.
Приклади. Віконаті додавання комплексних чисел:
1) (3 +2 ОЇ) + (-1-5ОЇ) = (3-1) + (2-5) ОЇ = 2-3ОЇ
2) (4-5ОЇ) + (2-ОЇ) = (4 +2) + (-5-1) ОЇ = 6-6ОЇ
3) (2 +3 ОЇ) + (6-3ОЇ) = (2 +6) + (3-3) ОЇ = 8
4) (10 - 3ОЇ) + (-10 +3 ОЉ) = (10-10) + (-3 +3) ОЇ = 0
З наведенням прікладі...
