в віпліває, что додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множіні дійсніх чисел справедлива Рівність a + 0 = a. У множіні комплексних чисел нулем є число 0 + 0ОЇ. Справді, Яке б Не було число, справедлива Рівність
(a + bОЇ) + (0 +0 ОЇ) = (a +0) + (b +0) ОЇ = a + bОЇ
За аналогією з дійснімі числами, для комплексних чисел вводитися Поняття про протілежні числа: два числа a + bОЇ та-a - bОЇ, сума якіх дорівнює 0, назівають протилежних.
Додавання комплексних чілел підлягає переставними та сполучному законам. Доведемо, Наприклад, справедливість переставного законом додавання комплексних чисел. Нехай, z в‚Ѓ = a + bОЇ, z в‚‚ = c + dОЇ. Тоді z в‚Ѓ + z в‚‚ = (A + bОЇ) + (c + dОЇ) = (a + c) + (b + d) ОЇ, z в‚‚ + z в‚Ѓ = (c + dОЇ) + (A + bОЇ) = (c + a) + (d + b) ОЇ. Оскількі для додавання дійсніх чисел справджується переставний закон, тоб a + c = c + a; b + d = d + b, тоб (a + c) + (B + d) ОЇ = (c + a) + (d + b) ОЇ, то z в‚Ѓ + z в‚‚ = z в‚‚ + z в‚Ѓ, что ї треба Було довести. Означення суми комплексних чисел пошірюється и на випадок трьох и больше доданків.
б) віднімання комплексних чисел
Віднімання комплексних чисел означаються як дію, Обернений до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, Невідомий доданок.
Означення. Різніцею двох комплексних чисел z в‚Ѓ = a + bОЇ и z в‚‚ = C + dОЇ назівається таке комплексне число z в‚ѓ = x + yОЇ, Яке в суммі з z в‚‚ Дає z в‚Ѓ.
Отже, z в‚Ѓ - z в‚‚ = z в‚ѓ, ЯКЩО z в‚ѓ + z в‚‚ = z в‚Ѓ. можлівість Дії віднімання комплексних чисел та ее однозначність потребує доведення.
Доведемо, что для будь - якіх комплексних чисел z в‚Ѓ = a + bОЇ и z в‚‚ = C + dОЇ різніця z в‚Ѓ - z в‚‚ Визначи и до того ж однозначно. Доведемо, что існує, и до того ж єдине, комплексне число z в‚ѓ = x + yОЇ, Яке в сумі з z в‚‚ Дає z в‚Ѓ.
За зазначену Дії віднімання, (c + dОЇ) + (x + yОЇ) = a + bОЇ. Виконано додавання в лівій частіні рівності, дістанемо:
(c + x) + (d + y) ОЇ = A + bОЇ (1). br/>
Зх умови рівності двох комплексних чисел маємо:
c + x = a
d + y = b
Ця система має Розвиток, и до того ж єдиний: x = a - c, y = b - d. Отже, існує, и до того ж єдина, пара дійсніх чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), что і треба Було довести. З доведеного віпліває, что віднімання комплексних чисел віконують за таким правилом:
(a + bОЇ) - (C + dОЇ) = (A - c) + (b - d) ОЇ
Приклади: Віконаті віднімання комплексних чисел.
1) (3 +4 ОЇ) - (1 +2 ОЇ) = (3-1) + (4-2) ОЇ = 2 + 2ОЇ;
2) (-5 +2 ОЇ) - (2 + ОЇ) = (-5-2) + (2-1) ОЇ = -7 + ОЇ;
3) (6 +7 ОЇ) - (6-5ОЇ) = (6-6) + (7 +5) ОЇ = 12ОЇ;
4) (0,3 +2,5 ОЇ) - (-0,75 +1,5 ОЉ) = (0,3 +0,75 ОЇ) + (2,5-1,5 ОЇ) = 1,05 + ОЇ;
5) (Г–2-2ОЇ) - (Г–2 +3 ОЇ) = (Г–2-Г–2) + (-2-3) ОЇ =-5ОЇ;
6) 1 +1/2) - (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2 +3/5) = 1/12 + 11/10. br/>
в) множення комплексних чисел
Означення. Добутком двох комплексних чисел a + bОЇ и c + dОЇ назівається комплексне число (Ac - bd) + (ad + bc) ОЇ. Суть и доцільність цьго Означення таборі зрозумілою, ЯКЩО взяти до уваги, что цею добуток Утворення так, як віконується множення двочленів з дійснімі коефіцієнтамі, а самє (a + bОЇ) (c + dОЇ) = Ac + adОЇ + bcОЇ + bdОЇ ВІ = ac + (ad + bc) ОЇ + bdОЇ ВІ. Замінюючі, за зазначені, ОЇ ВІ на -1, дістанемо: bdОЇ ВІ =-bd. Відокремівші дійсну Частину від уявної, остаточно матімемо:
(a + BОЇ) ( c + dОЇ) = (Ac - bd) + (ad + bc) ОЇ (2)
Формулу (2) не слід намагатіся механічно запам'ятати. Во время множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + bОЇ и c + dОЇ з Наступний заміною ОЇ ВІ на -1.
Приклади: Віконіті множення комплексних чисел.
1) (4-5ОЇ) (3 +2 ОЇ) = 12 +8 ОЇ-15ОЇ-10ОЇ ВІ = 12 +10-7 ОЇ = 22-7ОЇ;
2) (Г–3-ОЇ) (Г–2 + Г–5ОЇ) = Г–6-Г–2ОЇ + Г–15ОЇ-Г–5 ОЇ ВІ = (Г–6 + Г–5) + (Г–15-Г–2) ОЇ;
3) 8ОЇх3ОЇхГ–3 =-24Г–3;
4) (2-ОЇ) (-5) = -10 +5 ОЉ;
5) (-4-3ОЇ) (-6ОЇ) = -18 +24 ОЉ. p> Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсніх чисел: переставний и сполучному.
Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + bОЇ) ( a - bОЇ) = A ВІ - (bОЇ) ВІ = a ВІ -B ВІ ОЇ ВІ = A ВІ + b ВІ, тоб (A + bОЇ) ( a - bОЇ) = A ВІ + b ВІ. p> Приклади: Обчісліті добуток.
1) (3 +5 ОЇ) (3-5ОЇ) = 9 +25 = 34;
2) (2 + ОЇ) (2-ОЇ) = 4 +1 = 5;
3) (4 + Г–3ОЇ) (4-Г–3ОЇ) = 16 +3 = 19;
4) (Г–х + Г–уОЇ) ( Г–х-Г–уОЇ) = х + у;
5) (3/4 +2/5ОЇ) (3/4-2/5ОЇ) = 9/16 +4/25 = 289/400. p> Читаючи Рівність (a + bОЇ) (a - bОЇ) = a ВІ + b ВІ праворуч наліво, Робимо Висновок, что суму квадратів будь - якіх двох чисел можна податі у вігляді добутку комплексно - спряжених множніків.
Приклади: Розкласті на м...
