Кафедра: Вища математика
Реферат
з дисципліни В«Вища математикаВ»
Тема: В«Межа і безперервність функцій декількох змінних В»
Тольятті, 2008
В
Введення
Поняття функції однієї змінної не охоплює всі залежності, що існують у природі. Навіть у найбільш простих завданнях зустрічаються величини, значення яких визначаються сукупністю значень декількох величин.
Для вивчення подібних залежностей вводиться поняття функції декількох змінних.
Поняття функції декількох змінних
Визначення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних ( X , y , z , ..., t ), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u . p> Якщо змінна є функцією від двох змінних х і у , то функціональну залежність позначають
В
z = f ( x , y ).
Символ f визначає тут сукупність дій чи правило для обчислення значення z по даній парі значень х і у .
Так, для функції z = x 2 + 3 xy
при х = 1 і у = 1 маємо z = 4,
при х = 2 і у = 3 маємо z = 22,
при х = 4 і у = 0 маємо z = 16 і т.д.
Аналогічно називається величина u функцією від трьох змінних x , y , z , якщо дано правило, як з даної трійці значень x , y і z обчислити відповідне значення u :
В
u = F ( x , y , z ).
Тут символ F визначає сукупність дій або правило для обчислення значення u , відповідного даними значенням x , y і z .
Так, для функції u = xy + 2 xz - 3 yz
при х = 1, у = 1 і z = 1 маємо u = 0,
при х = 1, у = -2 І z = 3 маємо u = 22,
при х = 2, у = -1 І z = -2 маємо u = -16 і т.д.
Таким чином, якщо в силу деякого закону кожної сукупності п чисел ( x , y , z , ..., t ) з деякого безлічі Е ставиться в відповідність певне значення змінної u , то й u називається функцією від п змінних x , y , z , ..., t , визначеної на множині Е , і позначається
В
u = f ( x , y , z , ..., t ).
Змінні x , y , z , ..., t називаються аргументами функції, безліч Е - областю визначення функції.
Приватним значенням функції називається значення функції в деякій точці М 0 ( x 0 , y 0 , z 0 , ..., t 0 ) і позначається f ( М 0 ) = f ( x 0 , y 0 , z 0 , ..., t 0 ).
Областю визначення функції називається безліч всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які дійсні значення функції.
Функція двох змінних z = f ( x , y ) в просторі представляється деякою поверхнею. Тобто, коли точка з координатами х , у пробігає всю область визначення функції, розташовану в площині хОу , відповідна просторова точка, взагалі кажучи, описує поверхню.
Функцію трьох змінних u = F ( x , y , z ) розглядають як функцію точки деякої безлічі точок тривимірного простору. Аналогічно, функцію п змінних u = f ( x , y , z , ..., t ) розглядають як функцію точки деякого п -мірного простору.
Межа функції декількох змінних
Для того щоб дати поняття межі функції декількох змінних, обмежимося випадком двох змінних х і у . За визначенням функція f ( x , y ) має межу в точці...
