( х 0 , у 0 ), рівний числу А , що позначається так:
(1)
(пишуть ще f ( x , y ) в†’ А при ( x , y ) в†’ ( х 0 , у 0 )), якщо вона визначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0 ), за винятком, можливо, самої цієї точки і якщо існує межа
(2)
яка б не була прагне до ( х 0 , у 0 ) послідовність точок ( x k , y k ).
Так само, як у випадку функції однієї змінної, можна ввести інше еквівалентне означення границі функції двох змінних: функція f має в точці ( х 0 , у 0 ) межа, рівний А , якщо вона визначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0 ) за винятком, можливо, самої цієї точки, і для будь-якого Оµ> 0 знайдеться таке Оґ> 0, що
| f ( x , y ) - A | <О• (3)
для всіх ( x , y ) , що задовольняють нерівностям
0 <<Оґ. (4)
Це визначення, у свою чергу, еквівалентно наступному: для будь-якого Оµ> 0 знайдеться Оґ-околиця точки ( х 0 , у 0 ) така, що для всіх ( x , y ) з цієї околиці, відмінних від ( х 0 , у 0 ), виконується нерівність (3).
Так як координати довільної точки ( x , y ) округа точки ( х 0 , у 0 ) можна записати у вигляді х = х 0 + О” х , у = у 0 + О” у , то рівність (1) еквівалентно наступному рівності:
В
Розглянемо деяку функції, задану в околиці точки ( х 0 , у 0 ), крім, можливо, самої цієї точки.
Нехай П‰ = (П‰ х , П‰ у ) - довільний вектор довжини одиниця (| ​​ω | 2 = О© х 2 + П‰ у 2 = 1) і t > 0 - скаляр. Точки виду
( х 0 + t П‰ х , y 0 + t П‰ у ) (0 < t )
утворюють промінь, що виходить з ( х 0 , у 0 ) в напрямку вектора П‰. Для кожного П‰ можна розглядати функцію
В
f ( х 0 + t П‰ х , y 0 + t П‰ у ) (0 < t <Оґ)
від скалярної змінної t , де Оґ - досить мале число.
Межа цієї функції (Однієї змінної t )
f ( х 0 + T П‰ х , y 0 + t П‰ у ),
якщо він існує, природно називати межею f в точці ( х 0 , у 0 ) за напрямом П‰.
Приклад 1. Опції
В
визначені на площині ( x , y ) за винятком точки х 0 = 0, у 0 = 0. Маємо (врахувати, що і):
В
Звідси
В
(для Оµ> 0 вважаємо Оґ = Оµ/2 і тоді | f ( x , y < i>) | <Оµ, якщо <Оґ).
Далі, вважаючи, що k - постійна, маємо для y = kx рівність
В
з якого видно, що межа П† в точці (0, 0) за різними напрямками взагалі розрізнений (одиничний вектор променя y = kx , х > 0, має вигляд
).
Приклад 2. Розглянемо в R 2 функцію
( х 4 + у 2 в‰ 0). br/>
Дана функція в точці (0, 0) на будь-який прямий y = kx , що проходить через початок координат, має межу, що дорівнює нулю:
при х в†’ 0.
Однак цієї опції має межі в точки (0, 0), бо при у = х 2
і
Будемо писати, якщо функція f визначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0 ), за винятком, бути може, самої точки ( х 0 , у 0 ) і для всякого N > 0 знайдеться Оґ> 0 таке, що
| f ( x , y ) |> N ,
коли незабаром 0 <<Оґ. p> Можна...
