Зміст
1) Інтеграл по поверхні першого роду
2) Спеціальні векторні поля
3) Теорема Стокса
4) Потенційне полі
Література
векторне потенційне поле інтеграл
Інтеграл по поверхні першого роду
Фізичні завдання призводять до поверхневого інтегралу можуть бути двох типів:
1) не пов'язана з напрямком нормалі до поверхні
Наприклад, завдання про відшукання маси або заряду розподілених по поверхні:
2) - Залежить від напрямку нормалі-завдання про відшуканні потоку рідини в напрямку нормалі.
Дано: -Безперервна функція на
-поверхня:
В
1) Розіб'ємо поверхню на n частин
2) Візьмемо точку
3) Обчислимо-щільність
4) -Маса
В В
Отже
В
,
де D-проекція на площину XOY p> Приклад.
,
В
Приклад. Визначити масу, розподілену на поверхні, щільністю
Рішення. br/>В
Спеціальні векторні поля.
1 Дивергенція. p> 2 Соленоідальной поля. Властивості. p> 3 p> 1. Визначення дивергенції
В
Теорема Остроградського-Гаусса
В
Приклад. p> Знайти потік вектора спрямований в негативну сторону осі Ох, через частину параболоїда відсікається площиною
Рішення: br/>В В
В
Відповідь.
Властивості соленоїдальних полів.
Визначення. Векторне поле, для всіх точок якого називається соленоїдом в області. Соленоідальной поле вільно від джерел.
Властивості соленоїдальних полів.
1. Якщо соленоідальной поле задано в одинзв'язної області, то потік вектора через будь-яку замкнуту поверхню цієї області дорівнює нулю.
Нехай - Соленоідальной поле в одинзв'язної області. Тоді потік вектора через будь-яку поверхню натягнуту на заданий контур Г, не залежить від виду цієї поверхні, а залежить лише від контуру.
В
застосуємо теорему Остроградського-Гаусса. br/>В В
2. Властивості векторної трубки.
Визначення. Векторної лінією називається лінія в кожній точці якої напрямок дотичній до неї збігається з напрямком поля.
В
векторної лінії.
Візьмемо в полі замкнутий контур і проведемо через його точки векторні лінії
Будь інша векторна лінія проходить через точки контуру проходить або усередині трубки або поза трубки. p> У випадку потоку рідини, векторна трубка-це частина простору, яку заповнює при своєму переміщенні об'єм рідини.
Інтенсивністю векторної трубки називається потік поля через поперечний перетин цієї трубки.
3. Якщо полі соленоідальной в одинзв'язної області, то інтенсивність векторної трубки постійна вздовж всій трубки.
Доказ: br/>В
- бокова поверхня, векторні лінії перпендикулярні. Отже (нормаль до є нормаль поля тобто)
і мають протилежні напрямки. br/>
.
Потік через будь-який поперечний одне і теж якщо соленоідальной.
4. У соленоідальной поле векторні лінії не можуть ні починатися ні закінчуватися всередині поля. Вони або замкнуті, або мають кінці на кордоні поля, або мають нескінченні гілки. p> Доказ:
За властивості 3 інтенсивність трубки однакова, хоча поперечний переріз у точці М дорівнює нулю, в т М. Це неможливо тому безперервний в будь-якій точці.
В
Теорема Стокса. p> Вихор. Ротор. p> Циркуляція.
1. Теорема Стокса
. br/>
З поняттям циркуляції тісно пов'язане поняття ротора або вихору. Локальної характеристикою поля пов'язаної з завихрення є ротор. p> Плоске полі.
В
S площа всередині
В
поле швидкостей поточної рідини
В
У полі помістимо колесо з лопатями, уздовж. Частинки рідини, діючи на ці лопаті створять обертальний момент, сумарне дія яких приведуть колесо в обертання навколо своєї осі. Обертальний дію поля швидкостей рідини буде в будь-якій точці М характеризувати на дотичній до кола, тобто скалярний твір. Підсумовування обертальних дії рідини по всьому контуру коліщатка приведуть до поняття циркуляції вектора =
Буде визначати кутову швидкість обертання колеса, а знак циркуляції покаже в яку сторону обертається коліщатко щодо обраного напрямку. p> Циркуляція будь-якого поля визначає його обертальну здатність навколо даного напрямку і характеризує завихренность поля в цьому напрямку.
Чим менше тим більше циркуляція, більше завихренность.
. Максимум вихору, якщо
В В
- щільність циркуляції в точці.
Якщо просторове поле, то можна говорити про завихренности в напрямку.
В
- завихренности в напрямку.
Визначення: в точці називається вектор, проекція якого на кожен напрямок дорівнює межі відносини циркуляції векторного поля по контуру в плоскій області, перпендикулярної цьому напряму, ...
