Муніципальне загальноосвітній заклад
Середня загальноосвітня школа № 4
Секція: математика
ДОСЛІДНА РОБОТА
по темі
Докази нерівностей за допомогою одномонотонних послідовностей
Позолотина Наталія Андріївна, 9 б клас,
МОУ ЗОШ № 4 Центрального району. p> 224-49-85
Керівник: Тропіну Наталія Валер'янівна,
кандидат педагогічних наук,
доцент кафедри математичного аналізу МДПУ.
(Робота виконана в МОУ СЗШ № 4)
Новосибірськ 2008
В
Зміст
Введення
1. Основні поняття та визначення
2. Обгрунтування методу одномонотонних послідовностей для випадку з довільним числом змінних
2.1 Доведення нерівностей з мінімальним числом змінних
2.2 Випадок з двома послідовностями з двох змінних
Вправи
2.3 Випадок з двома послідовностями з трьох змінних
Вправи
2.4 Випадок з двома послідовностями з n змінних
Вправи
2.5 Випадок з n послідовностями з n змінних
Вправи
Висновок
Список використаної літератури
В
Введення
У шкільному курсі математики ми вивчали докази нерівностей в основному двома способами:
- зведення до очевидному за допомогою рівносильних перетворень;
- графічно (Дослідження властивостей і побудова графіків функції)
Не існує універсального способу докази всіх нерівностей, і більше того, не існує конкретних вказівок для вибору способу докази. Тому будь-який новий спосіб докази нерівностей представляє особливий інтерес.
У даному роботі ми розглянемо один з таких способів: доказ нерівностей за допомогою одномонотонних послідовностей.
Робота складається з 2-х параграфів. У першому параграфі я пояснюю основні визначення, які нам знадобляться для роботи. У другому параграфі знаходиться основна робота з прикладами та вправами.
В
1. Основні поняття і визначення
У цьому параграфі ми розглянемо основні поняття і визначення, які нам знадобляться для подальшої роботи.
Визначення 1. Безліч - Це сукупність, збори, набір деяких об'єктів з якого - або загальним для них ознакою.
Визначення 2. Натуральні числа N - це цілі позитивні числа 1, 2, 3, 4, 5, ...
Визначення 3. Цілі числа Z - це числа 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...:
Z = N-N {0}
Визначення 4. Раціональні числа Q - це числа представимо звичайними дробами у вигляді, де m є Z, n є N (або кінцевими, або нескінченними періодичними дробовими). ​​
Визначення 5. Ірраціональні числа I - це числа, представимо нескінченними неперіодичними десятковими дробами і непредставімие у вигляді.
Визначення 6. Речові (дійсні) числа R - об'єднання безлічі раціональних і ірраціональних чисел. br/>
R = Q I
Визначення 7. Нерівність - співвідношення між величинами, що показує, що одна величина більше або менше іншої.
Наприклад:,
Відомо, що всі нерівності підкоряються певним властивостям, таким як:
а) a
b) ab, baa = b
c) ab a + cb + c
d) a0-a0
Визначення 8. Довести нерівність - встановити істинність нерівності.
Нерівності бувають різними: з однією, двома і більше змінними, із ступенями. Ля кожного нерівності існує свій спосіб доказів. Ми розглянемо ще один спосіб: через одномонотонние послідовності.
Визначення 9. Слідство - З двох нерівностей одне є наслідком іншого, якщо область істинності другого нерівності містить в собі область істинності першого нерівності.
Позначення: f 1 (x)> f 2 (x) ц 1 (x)> ц 2 (x) - друга нерівність - наслідок першого.
Визначення 10. Два нерівності називаються рівносильними, якщо кожне з них є наслідком іншого. Інакше це можна сформулювати так: дві нерівності вважаються рівносильними, якщо їх безлічі значень змінних, для яких вони істинні, збігаються.
Позначаються рівносильні нерівності: f 1 (x)> f 2 (x) ц 1 (x)> ц 2 (x)
Ці визначення аналогічні відповідним визначень для рівнянь. Як і для рівнянь, можна сформулювати твердження про дії, що перетворюють таку нерівність в рівносильну йому. Такими діями можуть бути:
- додаток до обох частин нерівності одного доданку;
- перенесення доданка з протилежним знаком з однієї частини нерівності в іншу;
- множення обох частин на позитивне число або позитивну функцію і т.д.
Слід, однак, виробляючи ці дії, стежити, щоб не змінилася область допустимих значень, так як інакше буде порушена равносильность цих нерівностей.
Визначення 11. Методу математичної індукції - метод докази нерівностей, шляхо...
