м схожості доказів від найлегшого до найскладнішого.
Наприклад, Р (n) - деяке твердження, залежне від n є N
1) Перевіряємо правдивість Р (1)
2) Припускаємо, що P (k) істинно
3) Доводимо істинність Р (k +1)
4) Укладаємо, що Р (n) істинно для будь-яких n.
Визначення 12. Одномонотонние послідовності - це послідовності чисел виду ( а 1 а 2 ... А n ) ( b 1 b 2 ... b n ) записаних у вигляді таблиці, де найбільше з чисел а 1 а 2 ... а n знаходиться над найбільшим числом з чисел b 1 b 2 ... b n і друге за величиною з чисел а 1 а 2 ... а n над другим за величиною з чисел b 1 b 2 ... b n і т.д., іншими словами обидві послідовності одночасно зростаючі або одночасно убуваючі.
Визначення 13. Твір одномонотонних послідовностей (а 1 , а 2 , ... А n ), (b 1 , b 2 , ... b n ), ... (d 1 , d 2 , ..., d n ) це число виду
= а 1 b 1 ... d 1 + а 2 b 2 ... d 2 + ... + a n b n ... d n
В
2. Обгрунтування методу одномонотонних послідовностей для випадку з довільним числом змінних
Даний параграф розбитий на пункти, в яких ми спробуємо прийти до самого загальному доказу, для випадку k послідовностей з n числом змінних, за допомогою методу математичної індукції.
2.1 Доказ нерівностей з мінімальним числом змінних
а 1 * b 1 - нерівність з мінімальним числом змінних. Тоді
= a 1 b 1.
Так як це нерівність мінімальне з усіх існуючих, то порівнювати з схожим нерівністю його просто неможливо.
2.2 Випадок з двома послідовностями з двох змінних
Якщо = a 1 b 1 . то = а 1 b 1 + а 2 b 2
Теорема 1. Нехай (а 1 а 2) ( b 1 < b> b 2 ) - одномонотонние послідовності. Тоді
В В
Доказ
Дійсно,
- = (A 1 -a 2 ) (b 1 -b 2 )
Так як послідовності (а 1 а 2 ) (b 1 b 2 ) одномонотонни, то числа a 1 -a 2 і b 1 -b 2 мають однаковий знак. Тому
(a 1 -a 2 ) (b 1 -b 2 ) 0.
Теорема доведена.
Вправи
Дані нижче вправи ми вирішимо за допомогою Теореми 1
Вправа № 1 .
Хай a і b - позитивні дійсні числа.
Довести нерівність
a 3 + b 3 a 2 b + b 2 a.
Доказ.
Зауважимо, перш за все, що
a 3 + b 3 =, a 2 b + b 2 a =
А так як послідовності (a 2 , b 2 ), (a, b) одномонотонни, то
В
А це означає, що a 3 + b 3 a 2 b + b 2 a.
Що і потрібно довести.
Доведемо це ж нерівність, але іншим способом.
В
Значить a 3 + b 3 a 2 b + b 2 a.
Що і потрібно було довести.
Ми не можемо сказати який з методів доказу рішення легше, тому що в даному випадку обидва методи рішення нерівності приблизно однакові за складністю.
Вправа № 2 .
Нехай a і b - позитивні речові числа.
Довести нерівність.
а 2 + b 2 .
Доказ.
Зауважимо, перш за все, що
а 2 + b 2 =,,
А так як послідовності (), () одномонотонни, то
.
Що і потрібно довести.
2.3 Випадок з двома послідовностями з трьох змінних
Розглянемо послідовність (а 1 , а 2 , а 3 ) і (b 1 , b 2 , b 3 ), і запишемо у вигляді таблиці
В
Якщо послідовність (А 1 , а 2 , а 3 ) (b 1 , b 2 , b 3 ) записаних у вигляді таблиці, де найбільше з чисел а 1 , а 2 , а 3 знаходитися над найбільшим з ч...
