Відділ освіти гомельського міського виконавчого комітету
Державне заклад освіти
"Гімназія № 71 м. Гомеля "
Конкурсна робота
"антиПРО числа "
Виконавець:
Мурашко В'ячеслав Ігорович,
учень 9 А класу
Керівник:
Синюта Алла Миколаївна,
вчитель фізики
Державної установи освіти
"Гімназія № 71 м. Гомеля"
Гомель
2009
Зміст
Введення
1. Дослідження антиПРО чисел і їх властивостей
1.1 Завдання про антиПРО числах
1.2 Дослідження кількості антиПРО чисел серед натуральних чисел
1.3 Дослідження частоти народження антиПРО чисел серед натуральних чисел
2. Узагальнення про антиПРО числах
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Програми
Введення
На XI Республіканському турнірі юних математиків, що проходив у грудні 2009 року в Мінську, однієї з дослідницьких тим було завдання про антиПРО числах.
Мета даної роботи - вивчити антиПРО числа та їх властивості. При виконанні роботи були вирішені поставлені на турнірі задачі про антиПРО числах, а також запропоновані і досліджені свої питання з даної теми. Об'єкт дослідження - антиПРО числа. Назвемо натуральне число антиПРО, якщо кожен його простий дільник входить в його розкладання на множники з показником, більшим 1. Назвемо натуральне число антиПРО порядку р (р ГЋ N), якщо кожен його простий дільник входить в його розкладання на множники з показником не меншим, ніж р. Назвемо два натуральних числа взаємно антиПРО, якщо їх найбільший спільний дільник є антиПРО числом. АнтиПРО числа є природним узагальненням фігурують у проблемі бельгійського математика Е. Каталана правильних ступенів (1844 р.), яку намагалися вирішувати такі видатні математики як Лео Гебракус, Френікля де Бессі, Л. Ейлер, В. А. Лебег, Т. Нагель та ін У 2003 році румунська математик П. Михайлеску довів справедливість гіпотези Каталана. Тематика даної дослідницької роботи є досить нової. При проведенні аналізу джерел інформації безпосередньо посилань на задачу про антиПРО числах в такій постановці було знайдено дві - це стаття В. Сендерова, Б. Френкін "Гіпотеза Каталана" в журналі "Квант" № 4 2007 року і завдання М2032 про антиПРО числах - близнюках В. Сендерова з того ж журналу. У процесі виконання даної роботи потрібні були більш поглиблені знання з теорії чисел, які були отримані з таких джерел інформації, як Оре О. "Запрошення в теорію чисел", Виноградов І.М. "Основи теорії чисел "та ін
1. Дослідження антиПРО чисел і їх властивостей
1.1 Завдання про антиПРО числах
При вивченні антиПРО чисел і їх властивостей були вирішені ряд наступних завдань, поставлених на XI турнірі юних математиків.
1. Покажіть, що в натуральному ряду не можуть йти підряд чотири антиПРО числа.
Рішення. Серед поспіль йдуть чотирьох натуральних чисел два - парні. Їх різниця дорівнює 2, тобто при діленні на 4 одно з них дає в залишку 2, інше 0. Отже, одне з цих чисел ділиться на але з ділиться на, тобто НЕ антиПРО. Зауважимо також, що ці два парних числа не можуть бути взаімноантіпростимі і антиПРО порядку p.
2. Чи можуть три антиПРО числа бути довжинами сторін прямокутного трикутника?
Рішення. Три антиПРО числа можуть бути довжинами сторін прямокутного трикутника.
Наведемо як прикладу трикутник з наступними довжинами сторін:,,. Доказом того, що цей трикутник є прямокутним, є здійснимість теореми Піфагора:
.
Зауважимо також, що ці числа взаімноантіпрости і антиПРО порядку p.
3. Чи можуть три (Чотири, п'ять ...) антиПРО числа бути членами арифметичної прогресії? p> Рішення. Будь-яка кількість антиПРО чисел може бути членами арифметичної прогресії.
Прикладом є наступні n поспіль йдуть члени арифметичної прогресії:, 2, 3, ..., З різницею, де p> 1. p> Ці числа також взаімноантіпрости і антиПРО порядку.
4. Чи можуть п'ять антиПРО чисел складати безліч чисел виду a, a В± b, a В± (b + c) і т.д.?
Рішення. Відповідь на це питання залежить від величини чисел b і c. Наприклад, якщо вони рівні за 1, то з першої задачі випливає, що таких п'яти антиПРО чисел немає (немає 4 поспіль йдуть). Але знайти такі a, b і c, що a, a В± b, a В± (b + c) антиПРО можна. Наприклад, 2, 4, 5, 6, 8, де n> 8, p> 1. Зауважимо, що ці числа взаімноантіпрости і антиПРО порядку.
Легко отримати скільки завгодно доданків такого виду, вибираючи різні a, b і c, а потім Домножимо на з відповідним n.
5. Покажіть, що під множині натуральних чисел існують трійки йдуть підряд чисел, серед яких два є антиПРО.
Рішення. У безлічі натуральних чисел існують трійки йдуть підряд чисел, серед яких два є антиПРО. Наприклад, (7,...
