8, 9), (8, 9, 10), (25, 26, 27). У першій трійці другий число і третє число, в другій трійці перше число і друге число, а в третій трійці перше число і третє число є антиПРО числами.
6. Покажіть, що таких трійок нескінченно багато.
Рішення. Покажемо, що таких трійок нескінченно багато.
Розглянувши першу трійку (P-1, p, p +1), з якої p і p +1 антиПРО числа, отримуємо трійку (q-1, q, q +1), де числа q = 4 Г— p Г— (p +1) = (2p +1) 2 - 1 і q +1 =, очевидно, антиПРО як твір антиПРО чисел і квадрат, який завжди антиПРО число. З трійки (7, 8, 9) отримаємо трійку (287, 288, +289), з неї (332927, 332928, 332929) і так далі. В результаті отримаємо нескінченне число таких трійок. p> Аналогічний алгоритм застосовується і для трійок вигляду (p, p +1, p +2), в якій p і p +1 антиПРО числа.
У журналі КВАНТ № 4 за 2007 рік [2] наведено простий алгоритм, як з третього виду трійки отримати нескінченну серію таких трійок. Він спирається на рівність (2n 3 +3 n) 2 +2 = (2n 2 +1) 2 ( n 2 +2), яке легко перевіряється розкриттям дужок. Дійсно, розкривши дужки ліворуч і праворуч, отримаємо 4n 6 +12 n 4 +9 n 2 +2. Але тоді з трійкою (n 2 , n 2 +1, n 2 +2), в якій n 2 і n 2 +2 є антиПРО, отримуємо трійку (k 2 , k 2 +1, k 2 +2), де k = 2n 3 +3 n. Згідно доведеному вище рівності k 2 і k 2 +2 є антиПРО числами. Так з (25, 26, 27) отримуємо (70225, 70226, 70227) = (265 2 , 265 2 +1, 17 2 '3 5 ). Взявши n = 265, отримаємо наступну трійку і так далі.
7. Чи можуть усі три числа n - 1, n, n + 1 бути антиПРО?
Рішення. Довести, що немає трьох поспіль йдуть антиПРО чисел або знайти таку трійку не вдалося. Однак зауважимо, що в журналі КВАНТ № +4 за 2007 рік [1] ​​також наголошується, що відповідь на це питання авторам невідомий. У всякому разі, серед чисел до 2 000 000 таких трійок немає. Мною підвищена ця оцінка до 3136000000 чисел. p> Вірно наступне твердження.
Якщо існує трійка аніпростих чисел n - 1, n, n + 1, то існує антиПРО число виду.
Доказ:
Доведемо, що якщо існує трійка антиПРО чисел виду n - 1, n, n + 1, то число n парне. Дійсно, якщо числа n - 1, n +1 - парні, то їх різниця дорівнює 2, тобто при діленні на 4 одне з них дає в залишку 2, інше 0. Отже, одне з цих чисел ділиться на, але не ділиться на, тобто НЕ антиПРО - протиріччя.
Так як антиПРО і парне, то воно ділиться на 4, тобто має вигляд. Тоді. АнтиПРО число, помножене на антиПРО число - аніпростое число. Тобто число теж антиПРО.
Вірно і зворотне твердження.
Якщо існує антиПРО число виду (4k - антиПРО), те й існує трійка поспіль йдуть антиПРО чисел.
Доказ:
, НСД () = 1. Значить числа антиПРО, тобто існує трійка що йдуть підряд антиПРО чисел.
Дане твердження рівносильно завданню про існування трьох поспіль йдуть Антіріо чисел. Саму завдання вирішити складно. Але, можливо, простіше виявиться завдання про існування антиПРО числа виду. І якщо таке число існує, чи може при цьому 4k бути антиПРО?
Зауважимо, що з трійки аніпростих чисел (n 2 , n 2 +1, n 2 +2), в якій n 2 і n 2 +2 є антиПРО, можна отримати числа і, які є антиПРО (антиПРО помножене на антиПРО число - аніпростое число).
Але за допомогою даного алгоритму не можна отримати антиПРО число виду. Дійсно, n 2 і n 2 +2 - непарні, тобто - парне, так як n 2 має вигляд, то ділиться на 16, але не ділиться на 4, отже, не представимо у вигляді.
1.2 Дослідження кількості антиПРО чисел серед натуральних чисел
Будемо досліджувати кількість антиПРО чисел серед натуральних чисел в наступному сенсі.
Необхідно спробувати знайти або оцінити кількість антиПРО чисел на різних відрізках (наприклад, від 1 до 1000, від 1 до 1000000, від 1 до М (для довільних натуральних значень М), від 1000 до 1000000 і т.п.), отримати будь-які загальні закономірності. p> Позначимо через p (т) кількість антиПРО чисел серед всіх натуральних чисел от 1 до т.
Позначимо через p (k, т) кількість антиПРО чисел серед всіх натуральних чисел від k до т.
Для оцінки кількості антиПРО чисел на різних відрізках була розроблена програма на Паскалі, яка знаходить антиПРО числа (см Додаток Б).
З таблиці (див Додаток А), яку виводить програма, нескладно підрахувати кількість антиПРО чисел для різних заданих відрізків. Наприклад, від 1 до 1000 мається 53 антиПРО числа, від 1001 до 2000 - 24, від 2001 до 3000 - 18, від 3001 до 4000 - 19, від 4001 до 5000 - 13, від 5001 до 6000 - 13, від 6001 до 7000 - 12, від 7001 до 8000 - 11, ві...
