Три завдання з теорії чисел
Задача 1
Затвердження 1
Нехай р 1 , р 2 і р 3 є ненульовими раціональними числами, причому р 1 + р 2 = р 3. Тоді твір р 1 * р 2 * р 3 не є точним кубом ніякого (Відмінного від нуля) раціонального числа, тобто р 1 * р 2 * р 3 в‰ R 3 , де R - деяке раціональне число (R в‰ 0).
Доказ
Покладемо
і
Очевидно, що а (а в‰ 0) і b - раціональні числа, так як раціональними є числа р 1 і р 2 . p> (Якщо а = 0, тобто р 1 = - р 2 , то р 1 + р 2 = р 3 = 0, що суперечить нашому твердженню (р 3 0). p> Якщо b = 0, тобто р 1 = р 2 , то р 3 = 2 р 1 р 1 * р 2 * р 3 = р 1 * р 1 * 2р 1 = 2р, тобто р 1 * р 2 * р 3 = 2р в‰ R 3 і протиріччя з нашим твердженням відсутня.)
Тоді маємо:
В
Тепер неважко висловити старі змінні через нові:
(1) br/>
Таким чином, заміна р 1 і р 2 на a і b є оборотною (число Р 3 в обох випадках є залежною змінною).
Припустимо тепер, що Затвердження 1 невірно, і число є точним кубом (R 3 ) деякого раціонального числа R (R в‰ 0).
Позначимо (2), де r0, тому що при r = 0 або р 1 = 0, або р 2 = 0, або р 3 = 0 .
В
де q0 (пояснення нижче). br/>
Числа r і q є раціональними числами, якщо раціональні числа a і b. Далі маємо:
В
Пояснення
При q = 0, де r 0 0 - раціональне число (тому r0).
З (2) випливає, звідки R не є раціональним числом, що суперечить умові. Отже, q0. p> Звідси число є кубом деякого ненульового раціонального числа, позначимо це число через (3), де С0 (С> 0).
Позначимо: , Тоді:
В
(з урахуванням (2) і (3)) (4)
Так як r, q - раціональні числа, то й числа A, B, (CR)-також раціональні числа. p> Але тоді вони будуть раціональними рішеннями рівняння Ферма 3 ї ступеня, яке, як добре відомо, нерозв'язно в раціональних числах. Отримане протиріччя доводить наше твердження. p> Примітка. А якщо А = 0, або В = 0? Адже в цьому випадку можуть, напевно, з'явитися і ненульові раціональні числа р 1 , р 2 , р 3, R, що задовольняють умові нашого Твердження! Покажемо, що вони не з'являться.
Якщо В = r - q = 0, то r = q. br/>
Звідси, враховуючи
В
маємо ) = 0
звідки слід не лише з
r = q (що очікувано), а й r = 0 r = q = 0 R = 0, що суперечить умові нашого В«ТвердженняВ», ч.т.д. p> Для А = r + q = 0 міркування аналогічні. p> Тепер сформулюємо деяке узагальнення нашого Твердження 1 на раціональні функції. Нагадаємо, що раціональною функцією називається вираз виду, де p (x) і q (x) - деякі многочлени. Зауважимо, що і многочлени і навіть числа є окремим випадком раціональних функцій при відповідному виборі коефіцієнтів многочленів p (x) і q (x).
Затвердження 2
Нехай є раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами, причому для всіх x. Тоді функція ні в однієї раціональної точці x НЕ є кубом ніякого (відмінного від нуля) раціонального числа, тобто
або, де R - раціональне число (R в‰ 0);
або, де R (x) - раціональна функція, яка при кожному фіксованому раціональному x є раціональним числом.
Доказ
Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x ми отримуємо твердження для раціональних чисел, яке сформульовано в попередньому Затвердження 1, що й потрібно було довести.
Затвердження 3
Нехай є раціональними функціями з раціональними коефіцієнтами від декількох змінних x, y, z, ..., причому для всіх x, y, z, ....
Тоді функція ні в одній з раціональних точок x, y, z, ... не є кубом ніякого (відмінного від нуля) раціонального числа, тобто або:
В
де R - раціональне число (R в‰ 0);
або br/>
де R (x, y, z, ...) - раціональна функція, яка при кожному фіксованому раціональному x, y, z, ... є раціональним числом.
Доказ
Дійсно, при кожному фіксованому раціональному x, y, z, ... ми отримуємо твердження для раціональних чисел, тобто Затвердження 1, що й потрібно було довести. p> Де і як можна використовувати вищенаведені твердження?
Для аналізу нерозв'язності деяких рівнянь в раціональних числах практично по...
