Введення
Задана структурна схема системи (малюнок 1)
В
Малюнок 1.
і передавальна функція детермінованою частини:
.
Задаючий вплив детерміноване:.
Перешкода - стаціонарна випадкова функція з математичним очікуванням, рівним нулю, і спектральної щільністю
.
Потрібно:
1. Розрахувати залежності математичного сподівання і дисперсії помилки системи від величини коефіцієнта передачі в сталому процесі. Автоколивання в системі вважаються неприпустимими. p>. Вибрати оптимальне значення з умови мінімуму межі значень за ймовірністю:. p> Вихідні дані представлені в таблиці.
T 2 gv a D 0,5 3 3 0 5 1
1. Порядок розрахунку усталеного випадкового процесу в системі управління
Для розрахунку усталеного випадкового процесу в системі при стаціонарних випадкових впливах застосовується спектральний метод.
Даний аналітичний метод, званий також методом передавальних функцій, детально розвинений в рамках теорії автоматичного управління [1,2] і заснований на використанні структурно-динамічних схем систем і спектральних густин випадкових процесів. Безпосереднє використання спектральних густин можливо тільки для стаціонарних процесів. Тому даний метод дозволяє будувати моделі процесів, відповідних деяким сталим режимам в стаціонарних системах при стаціонарних впливах. p align="justify"> Застосування даного методу грунтується на використанні двох властивостей лінійних систем:
. Реакція лінійної системи на сукупність вхідних впливів може бути визначена як сума її реакцій на кожне з них окремо (принцип суперпозиції). p align="justify">. Випадковий сигнал на виході фізично реалізованого лінійного динамічного ланки має закон розподілу, близький до нормального (властивість фільтра). p align="justify"> Друга властивість, строго кажучи, має місце при наступному співвідношенні між порядком знаменника n і чисельника m передавальної функції ланки або системи: n - m? 2. Проте його зазвичай використовують у всіх випадках, коли виконується умова фізичної реалізованості nm? 1.
Завдяки зазначеним властивостям виявляється можливим ізольовано розглядати перетворення лінійної системою детермінованих і центрованих випадкових складових вхідних сигналів і обмежуватися для вихідного сигналу або помилки системи знаходженням тільки математичного сподівання і дисперсії, повністю визначають нормальний закон розподілу. Для оцінки кореляційних властивостей вихідних сигналів використовуються кореляційні функції та спектральні щільності. p align="justify"> Кожен випадковий вхідний сигнал перетвориться в суму:
,
де m g ( t ) - детермінована складова, або математичне сподівання вхідного сигналу; - центрована випадкова складова вхідного сигналу (випадковий процес з нульовим математичним очікуванням).
Модель перетворення детермінованої складової будується на основі стандартного апарату передавальних функцій:
L [ m y ( t )] =? ( p ) L [ m g ( t )],
де L [ m g ( t )], L [ m y ( t )] - зображення по Лапласа детермінованих складових відповідно вхідного і вихідного сигналів;? ( p ) - передавальна функція ланки або системи.
Вихідний сигнал в сталому процесі може бути визначений за теоремою про кінцевий значенні:
В
Наприклад, при m g ( t ) = const для асимптотично стійкою системи отримаємо: m y =? (0) m g = const .
Модель перетворення центрованої випадкової складової будується для спектральних густин
S y (?) = |? ( j ?) | 2 S g (?),
де спектральна щільність вхідного сигналу визначається за його кореляційної функції
В
За отриманою спектральної щільності вихідного сигналу знаходять його дисперсію:
В
Цей інтеграл зазвичай вдається привести до форми:
,
де
h n ( j ?) ...
