= b 1 ( j ? ) 2 n -2 + b 2 ( j ?) 2 n -4 + ... + b n , g n ( j ?) = a 0 ( j ?) n + a 1 ( j ?) n - 1 + ... + a n . (1)
Тоді:
, (2)
де ? n - n -й визначник Гурвіца для многочлена g n ( p ) [3], а ? ' n виходить з ? n заміною 1-го рядка коефіцієнтами многочлена h n . Наприклад, при n = 4
,. (3)
Для системи з декількома випадковими вхідними сигналами, якщо вони не корельовані між собою, математичне сподівання і дисперсія вихідного сигналу визначаються на основі принципу суперпозиції:
,
,
де і - математичне сподівання і спектральна щільність k -го вхідного сигналу (задає або обурює впливу);; - передавальна функція системи від k -го входу до виходу.
Таким чином, вихідний сигнал визначається у формі, причому центрована випадкова складова описується дисперсією D y .
Аналогічний підхід використовується при знаходженні помилки системи. Вона визначається у формі:. Нехай на систему діють детерміноване задає вплив g ( t ) і кілька некорельованих випадкових збурень, k = 1,2, ..., K .
Тоді математичне сподівання помилки визначається у вигляді суми:
,
де,,? x ( p ) - передавальна функція системи помилково від задає впливу, - передавальна функція системи по k -му впливу, що обурює, k = 1,2, ..., K.
Дисперсія помилки збігається з дисперсією вихідного сигналу.
. Статистична лінеаризація нелінійної частини системи
Статистичної лінеаризацією називається побудова лінійної моделі нелінійного ланки системи управління з урахуванням характеристик перетворення випадкового сигналу лінійної частиною системи (малюнок 2).
Методи статистичної лінеаризації засновані на допущенні про наявність у лінійної частини системи властивості фільтра. Завдяки цьому, сигнал на вході нелінійного ланки, тобто на виході лінійної частини (малюнок 2), розглядається у формі, причому для опису центрованої складової обмежуються дисперсією D x або среднеквадратическим відхиленням ? x . При декількох вхідних сигналах для кожного використовується аналогічне подання, а для опису сукупності центрованих складових - матриця моментів. p> Для однозначної нелінійності загального вигляду статистично лінеаризованих модель має вигляд:.
Для однозначної непарної щодо вхідного сигналу нелінійності j (-x ) = - j ( x ) коефіцієнт j0 виражають через математичне сподівання вхідного сигналу : j0 = k 0 m x .
Коефіцієнт j0 називається середньої статистичної характеристикою нелінійності; коефіцієнт k 0 - статистичним коефіцієнтом посилення по математичному очікуванню; коефіцієнти k 1 - статистичними коефіцієнтами посилення по випадковим складовим вхідних сигналів.
Значення коефіцієнтів статистичної лінеаризації визначають на основі критеріїв ймовірнісної еквівалентності. Зазвичай використовують два критерії. p> Перший критерій полягає в рівності математичних очікувань і дисперсій сигналів на виході статистично лінеаризованих і вихідного нелінійного ланок. Для однозначної вихідної нелінійності маємо:
,
,
де f ( x ) - ПРВ сигналу X на вході нелінійного ланки.
Математичне сподівання вихідного сигналу лінеаризованих ланки M [ Y ] одно j0 (або k 0 m x для непарної нелінійності), а його дисперсія D [ Y ] пов'язана з дисперсією і среднеквадратическим відхиленням вхідного сигналу відповідно до (4.15):
В
У результаті отримаємо:
або, (4)
. (5)
Знак у формулі відповідає знаку похідної в точці, що відповідає m x .
Другий критерій полягає в мінімізації середнього квадрата помилки апроксимації вихідного сигналу нелінійного ланки вихідним сигналом лінеаризованих ланки:
.
Розкриємо дужки у виразі для h2 і застосуємо до нього перша необхідна умова екстремуму по j0 і k 1:
В
,
,
.
Рішення отриманих рівнянь дає вирази для визначення j0 і k 1, що доставляють мінімум h2:
,
. (6)
Зазвичай рекомендують обчислювати k 1 як середнє арифметичне:
,
д...
