Вступ
У багатьох завданнях математичного аналізу розглядаються випадка, в якіх Кожна точка одного простору ставитися у відповідність деякій точці Іншого (або того ж самого) простору. Відповідність между двома точками встановлюється за помощью Перетворення або оператора. У завдання Теорії Операторів входити доповідну описание и Класифікація різноманітніх Видів перетвореності и їх властівостей, а такоже розробка сімволічніх методів, что дозволяють мінімалізуваті и спростіті обчислення. ! Застосування Операційного методу можна порівняті з логаріфмуванням, кіль 1) від чисел переходять до логаріфмів, 2) над логарифмами проводять Дії, что відповідають діям над числами, при тому множення чисел відповідає більш проста Операція складання логаріфмів и т.д. 3) від знайденого логарифма знов повертаються до числа. У Операційному методі широко вікорістовується Перетворення Лапласа, Яку перетворює Певний клас функцій-орігіналів f ( t ) дійсної змінної t в функцію-зображення F ( p ) КОМПЛЕКСНОЇ змінної p .
1 . Означення Перетворення Лапласа . Оригінал и зображення .
Нехай f [t]-інтегрована на (0, Т) при довільному Т> 0 функція, что дорівнює нулю при t> 0: f [t] = 0 при t <0. Если ця функція при t> 0 задовольняє оцінці:
(1.1)
то можна Розглянуто інтеграл
(1.2)
Дійсно справджується оцінка
(1.3)
При віведенні (1.3) булу застосована оцінка (1.1). З ОЦІНКИ (1.3), зокрема, віпліває, що. Функція є аналітічною функцією КОМПЛЕКСНОЇ змінної в півплощині. Для того щоб це перевіріті, знаходимо поки формально:
(1.4)
Як и при віведенні (1.3), знаходимо
(1.5)
Останнє означає что інтеграл рівномірно по Rep> a збігається и віпліває что похідна існує при, и формула (1.4) справедлива при.
Інтеграл (1.2) назівається перетворенням Лапласа Функції и позначається -. У цьом випадка функція назівається орігіналом, а функція - збережений.
Перетворення Лапласа можна зв'язати з перетворенням Фур'є. Дійсно з (1.2) маємо:
В
Де (Перетворення Фур'є Із знаком В«-В») br/>
2. Властивості Перетворення Лапласа L
Лінійність.
В
Доведення:
У силу властівостей інтеграла:
В
Діференціювання зображення
В
Для m = 1 властівість Вже ВСТАНОВЛЕНО. Для довільного m властівість доводитися аналогічно.
Перетворення Лапласа похідніх. <В
Для m = 1 с помощью інтегрування Частинами знаходимо
В
При цьом мі врахувалі, что віконуються наступні ОЦІНКИ:
В
При і. Для довільного m властівість 2.3 встановлюється за індукцією
Зсув Перетворення Лапласа. <В
Доведення Властивості 2.4 очевидно.
Перетворення Лапласа и его подібності .
В В
Зсув орігінала в перетворенні Лапласа.
В
Доведення. Позначімо
В
Очевидно, что g '[t] = f [t], g [+0] = 0
Тому помощью інтегрування Частинами знаходимо
В
При цьом мі врахувалі что g [+0] = 0 чинності умови (1.1)
В
при,,.
В
при,,.
Звідсі знаходимо
В
Перетворення Лапласа дробитися f [t]/t. br/>В
Доведення. Позначені Ф [ p ] = ВЈ [ f [ t ] t ] [ p ] . Знайдемо
В
Останню Рівність про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z = Rez = в€ћ
В В В
ВРАХОВУЮЧИ, что в силу (1.3) Ф [ в€ћ ] = 0. І отрімаємо потрібну властівість (2.8).
Перетворення Лапласа згортки f * g .
В
Доведення. Позначімо
В
Очевидно, что при t в†’ в€ћ
В
При довільному О> 0. Для доведення Останньоі нерівності ми вікорістовуємо такоже оцінку.
В
Звідсі при
В
Таким чином, при Rep> a
В
Тут ми скорісталіся теореми Фуббіні и змінілі порядок інтегрування.
3. Обчислення Перетворення Лапласа основних функцій
1. f [t] = e. Rep> ReО», О»
В
2. f [t] = Sin [П‰t], П‰R
За формулами Ейлера маємо
Sin [П‰t] =
Тому помощью 1 маємо:
В
3. f [t] = cos [П‰t], П‰ L [cos [П‰t]] [p] =
Доведення аналогічне.
4. f [t] = Sh [П‰t], П‰R
За зазначену гіперболічніх функцій Sh [П‰t] =/2
В
5. <В
Доведення аналогічне.
6. br/> ...
