ЗМІСТ
Введення
1. Багаточлени Лежандра
2. Багаточлени Чебишева
3. Перетворення Лапласа
4. Звернення перетворення Лапласа за допомогою многочленів, ортогональних на кінцевому проміжку
4.1 Постановка завдання
4.2.Обращеніе перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Лежандра
4.3. Звернення перетворення Лапласа за допомогою зміщених многочленів Чебишева першого роду. p> Висновок
перетворення зміщений многочлен числення
ВСТУП
Математичний аналіз - розділ математики, що дає методи кількісного дослідження різних процесів зміни; займається вивченням швидкості зміни (диференціальне обчислення) та визначенням довжин кривих, площ і обсягів фігур, обмежених кривими контурами і поверхнями (інтегральне числення). Для завдань математичного аналізу характерно, що їх рішення пов'язане з поняттям меж.
Початок математичного аналізу поклав в 1665 І. Ньютон і (Близько 1675) незалежно від нього Г. Лейбніц, хоча важливу підготовчу роботу провели И.Кеплер (1571-1630), Ф.Кавальері (1598-1647), П.Ферма (1601-1665), Дж.Валліс (1616-1703) і І.Барроу (1630-1677). p> Операційне числення - розділ математики, займається головним чином алгебраїчними операціями, що здійснюються над символами операції (або перетворення). p> У багатьох задачах математичного аналізу розглядаються ситуації, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж) простору. Простору можуть бути абстрактними, в яких В«точкиВ» насправді є функціями. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. У завдання теорії операторів входить докладний опис і класифікація різних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімізувати і спростити обчислення. Зазвичай теорію операторів застосовують до просторів, в яких допускається додавання множення точок, тобто лінійним просторам, групам, кільцям, полям і т.д.
Операційне числення дозволяє здійснити абстрактні постановки завдань і узагальнити такі розділи математичного аналізу, як теорія диференціальних та інтегральних рівнянь. Потужним стимулом для розвитку теорії операторів стали сучасні проблеми квантової теорії. Найбільш повні результати отримані для дистрибутивних операторів в т.зв. Гільбертовому просторі. Інтерес до цієї галузі багато в чому пов'язаний з поданням таких операторів інтегральними перетвореннями.
У середині XIX століття з'явився ряд творів, присвячених так званому символічному обчисленню та застосуванню його до вирішення деяких типів лінійних диференціальних рівнянь. Сутність символічного обчислення полягає в тому, що вводяться в розгляд і належним чином інтерпретуються функції оператора диференціювання.
. br/>
Серед творів по символічному обчисленню слід зазначити що вийшла в 1862 році в Києві грунтовну монографію російського математика М. Є. Ващенко-Захарченко В«Символічне числення і додаток його до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь В». У ній поставлені і дозволені основні завдання того методу, який надалі отримав назву операційного.
У 1892 році з'явилися роботи англійського вченого О. Хевісайда, присвячені застосуванню методу символічного обчислення до вирішення задач з теорії розповсюдження електричних коливань в проводах.
В
На відміну від своїх попередників, Хевісайд визначив зворотний оператор однозначно, вважаючи і вважаючи f ( u ) = 0 для u <0. Праці Хевісайда поклали початок систематичному застосуванню символічного, або операційного, обчислення до вирішення фізичних і технічних завдань. br/>В
Проте широко розвинене в працях Хевісайда операційне числення не отримало математичного обгрунтування, і багато його результати залишалися недоведеними. Суворе обгрунтування було дано значно пізніше, коли було встановлено зв'язок між функціональним перетворенням Лапласа і оператором диференціювання
В
якщо існує похідна, для якої
В
існує і f (0) = 0, то
.
Одним з найбільш потужних засобів вирішення диференціальних рівнянь, як звичайних, так, особливо, в приватних похідних, є метод інтегральних перетворень. Перетворення Фур'є, Лапласа, Ганкеля і інші застосовуються для вирішення задач теорії пружності, теплопровідності, електродинаміки та інших розділів математичної фізики. Використання інтегральних перетворень дозволяє звести диференціальне, інтегральне або інтегро-диференціальне рівняння до алгебраическому, а також, у разі диференціального рівняння в приватних похідних, зменшити розмірність.
Інтегральні перетворення задаються формулою
, (1)
де функції називаються оригіналом і зображенням відповідно, і є елементами деякого функціона...
