Контрольна робота з теплофізики
1. Диференціальне рівняння теплопровідності при одновимірному поширенні тепла. (Фур'є)
Для виведення диференціального рівняння теплопровідності розглянемо випадок одновимірної задачі, коли перенесення тепла відбувається в напрямку однієї з осей координат, наприклад, через необмежено протяжну плоску стінку. Виділимо всередині такої стінки нескінченно тонкий шар товщиною dx , в якому температура змінюється на величину dt . При стаціонарному тепловому потоці (коли температура шару не змінюється з часом) кількість тепла, що проходить через цей шар, равно.В загальному випадку (тобто при нестаціонарних умовах теплопередачі) величина теплової енергії при проходженні її через виділений шар буде змінюватися. Для визначення величини зміни теплової енергії по товщині шару потрібно попереднє рівняння продифференцировать по dx . Тоді отримаємо:. Зміна величини теплової енергії при цьому пов'язано з поглинанням або виділенням тепла шаром при зміні його температури в часі. Кількість тепла, необхідне для підвищення температури шару завтовшки dx на dt градусів пропорційно теплоємності шару:, а, отже, dm - маса шару матеріалу товщиною < i> dx , кг, яку можна представити у вигляді . Тобто або, де з - питома теплоємність матеріалу, Дж/кг В· К, характеризує здатність матеріалу підвищувати свою температуру при повідомленні йому теплової енергії. Найбільшою питомою теплоємністю володіє вода ( з в = 1 ккал/кг В· К = 4185 Дж/кг В· К). Відповідно, теплоємність будівельних матеріалів значно залежить від їх вологості і росте при їх зволоженні; ? - об'ємна вага (щільність) матеріалу, кг/м3; Твір питомої теплоємності на щільність матеріалу < i> з ? носить назву об'ємної теплоємності матеріалу. Знак мінус у правій частині цього рівняння поставлений тому, що підвищення температури шару пов'язано з поглинанням їм тепла і зменшенням величини теплової енергії. Таким чином, за відсутності в шарі внутрішніх джерел тепла, зміна величини теплової енергії є наслідком тільки поглинання тепла цим шаром, і, а значить або. У зв'язку з тим, що диференціювання відбувається як за часом, так і по координаті, останнє рівняння доцільно записати в приватних похідних:. Дане рівняння - це диференціальне рівняння теплопровідності (рівняння Фур'є) для одновимірного руху тепла. Ліва частина рівняння являє собою зміну температури середовища в часі, похідна, що стоїть в правій його частині, - просторове зміна градієнта температури. Коефіцієнтом пропорційності між цими частинами є коефіцієнт температуропровідності матеріалу [м2/с], який є відношенням величин, одна з яких (?) характеризує теплопровідність матеріалу, а інша ( c ? ) - його здатн...
