За властівістю 2.2 маємо:
В
Зокрема
В
7. <В
Як и у прікладі 6, знаходимо для Функції
В
Застосуємо далі для лівої и правої Частини отріманої рівності Операції дійсної уявної частині, вважаючі р дійснім и додатнім.
(3.1)
(3.2)
4. Обернений Перетворення Лапласа
Теорема 4.1 (основна) Нехай функція f (t) задовольняє умові (1.1) i F (p) ее зображення. Тоді в довільній точці t> 0 в Якої функція f (t) діференційована, справджується формула Подання:
(4.1)
Доведення
Розглянемо функцію . Очевидно, что функція g [t] інтегрована на (0, в€ћ) i діференційована у т. t> 0. Розглядаючі F [p] Перетворення Фур'є Функції g [t] Обернений Перетворення Фур'є. br/>В
После множення Останньоі рівності на отрімаємо 4.1. 4.1 назівається формулою Обернений Перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. в–
Теорема має недолік, для ее! застосування пільг в Попередньо Володіти інформацією про Властивості віхідного орігінала f [t]. У наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умів Тільки на зображення F [p].
Теорема 4.2 Нехай F [p] аналітична на півплощині Re p > a что задовольняє умів:
1) При будь-якому існує інтеграл:
В
2) Для
В
- дуги кола радіуса R з центром у точці (, 0)
, при
Тоді, - це зображення Функції f [t], представленої формулою 4.1 () p> Доведення
Розглянемо прямокутній контур (мал. .4.1)
За теоремою Коші інтеграл Г [ Пѓ1, Пѓ2, р ] по контуру J 1 [ Пѓ1, Пѓ2, р ] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J 1 [ Пѓ1, Пѓ2, р ] при р в†’ в€ћ. Легко переконатіся, что інтегралі за Верхній и Нижній сторонам прямокутник прямують до 0 при р в†’ в€ћ, а інтегралі по бічнім сторонам у границі віявляються рівнімі за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) НЕ поклади від Вибори.
Доведемо, что побудовали за формулою (4.1) функція f [t] Дійсно є орігіналом заданої Функції F [p]. Перш за все зауважімо, что для інтеграла (4.1) справедлива оцінка
В
Звідсі віпліває, что інтеграл (4.1) рівномірно по збігається.
Доведемо, что f [t] = 0, при t <0. Для цього розглянемо інтеграл по замкненому контуру в півплощині, что Складається з дуги кола радіуса R и відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коші:
В
У силу Лемі Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t <0 и R в†’ в€ћ. Інтеграл что остался в границі переходити до інтегралу по прямій, дорівнює нулю при t <0. Покажемо Нарешті что Перетворення Лапласа в точці p = q ( ) співпадає з F [ q ]. За помощью формули Коші знаходимо при
В
в–
При віведенні ми врахувалі что інтеграл по прямій можна замініті на інтеграл за замкненим контуром, так як
при R в†’ в€ћ
Лема Жордана. Нехай t> 0 і - півколо радіуса R в півплощині. Если функція задовольняє умів:
функція неперервно при,,
В
Тоді при R в†’ в€ћ
Доведення
Зробимо заміну змінної інтегрування
z = R.
Тоді справедлива оцінка інтеграла
В
Як відомо, при. Продовжімо оцінку інтеграла
В
При R в†’ в€ћ. Лему доведено в–
Задача Знайте Перетворення Лапласа Функції
(5.1)
Введена гамма-функція
В
Розглянемо спочатку L [f [t]] [p] при p> 0. За помощью простої заміні змінніх знаходимо
В
Нехай далі і. Для візначеності будемо вважаті, (випадок розглядається аналогічно). Покладемо. Легко перевіряється что ps = t - додатне число. p> Далі маємо:
(5.2)
де - відрізок Променя. Побудуємо замкненому контур (мал. 5.1). За теоремою Коші:
В
Оцінімо інтеграл по дузі и кола радіуса R
В В
при R в†’ в€ћ.
Перейдемо до границі при R в†’ в€ћ, в†’ 0 в рівності (5.3), отрімуємо
В
В
Звідсі и Із 5.2 встановлюємо (5.1).
5. Приклади розв'язання базових задач
Зауваження. Функцією-орігіналом назівається будь-яка комплексно значний функція f ( t ) дійсного аргументу t < b>, что задовольняє умів:
1 В°. f ( t ) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалі вісі t (локально інтегрована).
2 В°. Для усіх від'ємніх t
В
3 В°. f ( t ...
