Кустанайський державний педагогічний інститут
Природно-математичний факультет
Кафедра вищої математики
Реферат
На тему:
Нормоване простір. Банаховий простір
Ванжа Галина
Перевірила: ст. викладач
Нурмагамбетова А.А.
р. Кустанай 2010. br/>
Зміст
Введення
Основні поняття та визначення
1. Лінійні простору
2. Нормовані простору
3. Банахові простору
4. Компактні безлічі
Введення
У даній роботі вивчаються такі важливі елементи функціонального аналізу як лінійно-нормовані простору.
Вивчення просторів актуально в сучасному процесі вивчення теорій функцій і тому необхідно розглянути всі основні аспекти теорії нормованих просторів.
Мета: вивчити структуру побудови нормованого простору, розглянути Банаховий простір.
Для того щоб визначити роль нормованих просторів, необхідно розглянути поняття лінійного простору і що воно собою являє. На основі лінійного простору можна перейти до вивчення норми, а потім ввести поняття В«Нормованого просторуВ», визначити, що є його подпространством. p> Однією з поставлених завдань є: розвинути поняття банахових просторах. Для її вирішення використовується внутрішня логіка розвитку теорії нормованих просторів.
Основні поняття і визначення
1. Лінійні простору
Визначення: Непорожнє безліч елементів називається лінійним, якщо воно задовольняє таким умовам:
I. Для будь-яких двох елементів визначений єдиний елемент, званий сумою і позначається, причому
1);
2);
3) у існує такий елемент 0, що для всіх;
4) для кожного існує такий елемент, що.
II. Для будь-якого числа і будь-якого елементу визначено елемент, причому
1);
2);
3);
4);
Приклади лінійних просторів
1. Простір дійсних чисел є лінійним простором за операціями додавання і множення.
2. - Простір, елементами якого є послідовності чисел, що задовольняють умові з операціями,
3. Послідовності, сходяться до 0, з тими ж операціями додавання і множення, також утворюють лінійне простір. Позначаємо його С0. br/>
2. Нормовані простору
Нормовані простору об'єднують структури лінійних просторів.
Будемо розглядати деякий лінійний простір.
Полунормой називають функціонал p, визначений на і задовольняє наступним аксіомам:
1. (Неотрицательность),
2. (Аксіома трикутника),
3. для будь-якого числа (абсолютна однорідність).
Нормою називають функціонал p, задовольняє наступним аксіомам:
1.,
2.,
3. (Аксіома трикутника),
4. для будь-якого числа (абсолютна однорідність).
Таким чином, норма - це полунорма, на яку накладено додаткову умову: норма дорівнює нулю тільки на нульовому елементі.
Визначення: Нормованим простором називають лінійний простір із заданою на ньому нормою.
Норму елемента лінійного простору позначають.
Будь-яке нормоване простір можна розглядати як метричний, ввівши в ньому метрику наступним чином
Таку метрику називають метрикою, індукованої нормою. Це означає, що на нормовані простору можна перенести всі поняття і факти, пов'язані з метричним просторам.
Зокрема, збіжністю за нормою називається збіжність в метриці, індукованої даної нормою.
Безперервність лінійних операцій і норми.
У нормованому просторі сума, твір на число і норма безупинні: якщо послідовності {xn} і {yn} сходяться за нормою відповідно до x і y: і, а числова послідовність {an} сходиться до межі a, то
Розглянемо, суму двох елементів:
Так як і, то права частина нерівності сходиться до нуля, а значить, до нуля сходиться і його ліва частина. Безперервність суми доведена. p> Доведемо тепер безперервність множення вектора на число. Для цього нам потрібно довести, що числова послідовність сходиться до нуля. Уявімо різниця anxn - ax наступним чином:
Згідно аксіомі трикутника для норми:
Розглянемо кожне з доданків окремо:
Таким чином, ми встановили, що безперервність операції множення на число доведена.
Нарешті, доведемо безперервність норми. Кожен елемент xn можна представити у вигляді
xn = (xn - x) + x, по аксіомі трикутника:
або
Аналогічно можна довести, що об'єднуючи два цих нерівності, отримаємо:
За визначенням збіжності за нормою, значить, то є.
Безперервність норми доведена.
Приклади нормованих просторів
1. Речова пряма R1 є нормованим простором, якщо в якості норми взяти модуль дійсного числа.
2. У дійсному скінченновимірному просторі ...
