Одеський національний політехнічний університет
банахових простору
Метричні і нормовані простору
З дисципліни "Функціональний і опуклий аналіз"
Виконала:
Студентка групи РІ-101 Козлюк Є.О.
Перевірив: Бардай В.В.
Одеса 2011
Метричні і нормовані простору
Саме в цих просторах були спочатку досліджені фундаментальні поняття сильної і слабкої збіжності, компактності, лінійного функціоналу, лінійного оператора та ін банахових просторах названі по імені С. Банаха, к-рий в 1922 почав систематич. вивчення цих просторів на основі введеної їм аксіоматики і отримав глибокі результати.
Безліч M називається метричним простором, якщо кожним двом елементам x, y цієї множини поставлено у відповідність дійсне число, що позначається і зване відстанню між елементами x і y, причому виконані наступні аксіоми:
1. для будь-яких , причому в тому і тільки в тому випадку, коли ;
2. для будь-яких ;
3. для будь-яких .
Якщо x, y - два фіксованих елемента множини M, то є дійсне число, однак, вважаючи x і y рівними всіляким елементам множини M, отримаємо, що є функцією двох змінних x, y. Ця функція називається метрикою даного простору.
Безліч можна наділити метрикою: наприклад, досить покласти . Прикладом метричного простору може також служити безліч точок площини, де відстань між точками і визначається як . При цьому третя аксіома, приймаюча вид (де A, B, C - довільні точки площині) має наочну інтерпретацію: довжина кожної зі сторін трикутника не перевищує суми двох інших сторін (рівність досягається, якщо трикутник "виродилися": точка C лежить на відрізку AB). У зв'язку з цим третю аксіому метричного простору часто називають нерівністю трикутника.
Наведемо тепер менш тривіальний приклад. У просторі неперервних на відрізку функцій (дійсних чи комплексних) введемо метрику
В
Виконання перших двох аксі...
