Rn норму можна ввести декільком способами. Найбільш широко відома Евклидова норма:
Інші можливі норми:
У комплексному n-вимірному просторі норму можна ввести наступним чином:
3. У просторі неперервних на відрізку [a, b] функцій C [a, b] норму можна задати формулою
4. Нехай М - простір обмежених числових послідовностей
Х = (х1, х2, ..., хп, ...), покладемо:
| | x | | = sup | xn |.
підпросторами нормованого простору
Розглядаючи лінійні простору (без норми), ми називали подпространством непорожнє безліч L0 володіє тим властивістю, що якщо цій безлічі належать два елементи x і y простору L, то будь-яка лінійна комбінація цих елементів також належать цій безлічі:
підпросторами нормованого простору ми будемо називати тільки замкнуте підпростору.
Визначення: Лінійним замиканням системи елементів {xn} або подпространством нормованого простору, породженим системою елементів {xn}, називається найменше замкнутий підпростір, що містить всі елементи даної системи.
Довільну (тобто не обов'язково замкнуту) сукупність елементів, що містить разом з x і y довільну їх лінійну комбінацію ax + by будемо називати лінійним різноманіттям.
Система елементів нормованого простору R називається повною, якщо її лінійне замикання є саме R.
Фактор-простору нормованого простору.
Нехай R - лінійне нормоване простір, а R '- деяке його підпростір. Розглянемо фактор простір
З = R/R '.
Як відомо, фактор-простір є лінійним простором.
У цьому просторі можна ввести норму, поклавши для даного класу
Доведемо, що всі аксіоми норми справді виконуються.
Так як, то і Нульовим елементом З0 фактор-простору R/R 'є підпростір R'. Так як всяке підпростір має містити нульовий елемент, то
Зворотно, якщо, то з безперервності норми випливає, що в класі з можна вказати послідовність елементів, що сходяться до нульового елементу, але так як в підпростір лінійного простір замкнуто за визначенням, то замкнуті всі класи суміжності, а значить
з = R '= З0
Для всякого елемента і числа має місце рівність
Візьмемо зліва і справа нижню межу по з:
З іншого боку, в силу того, що фактор-простір є лінійним простором, має місце рівність
Розглянемо два класи суміжності виберемо в кожному класі по представнику
Тоді візьмемо нижню грань від лівої і правої частини цієї нерівності:
Таким чином, всі аксіоми норми дійсно виконані.
3. Банахові простору
Визначення: Відстанню (метрикою) між двома елементами і називається речовий невід'ємне число, що позначається і підпорядковане трьом аксіомам:
1);
2);
3);
Визначення: Послідовність точок метричного простору називається фундаментальною, якщо при
Справедливі твердження:
1. Якщо послідовність сходиться до деякого межі, то вона фундаментальна
Доказ: нехай, тоді, при
2. Всяка фундаментальна послідовність обмежена
Визначимо відстань у нормованому просторі, вважаючи для будь-яких. Тоді означає, що. Це збіжність за нормою.
Фундаментальна послідовність у нормованому просторі відповідно з визначенням відстані характеризується умовою, при
Визначення: Нормоване простір називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність його елементів має межу.
Визначення: Повне нормоване простір називається банахових просторах.
Література
1. Колмогоров, О.М. Елементи теорій функцій і функціонального аналізу/О.М. Колмогоров, С.В. Фомін. В¬ В¬ - М.: Фізматліт, 1967. p> 2. Князєв, П.М. Функціональний аналіз/П.М. Князєв-Вид. 2, перераб. М., 1979. p> 3. Люстерник, Л.А. Елементи функціонального аналізу/Л.А. Люстерник В.І. Соболєв-М., 1980. br/>
