Лінійні метричні, нормовані і унітарні простору
Введення
При вирішенні багатьох технічних і прикладних завдань радіотехніки виникають питання: як об'єктивно порівняти який сигнал більше іншого або як оцінити "Близькість" двох сигналів. p> Виявляється, що методи функціонального аналізу, створивши струнку теорію сигналів, в основі якої лежить концепція сигналу як елемента спеціально сконструйованого простору, дозволяють відповісти на ці питання.
Введемо позначення. Якщо R - Деяке безліч елементів, то f ГЋ R означає, що f є елементом R; або f ГЏ R означає, що f не належить R.
Безліч елементів х ГЋ R, що мають властивість А позначається символом наприклад - безліч точок, що належать півколу х 2 + y 2 ВЈ 1, x Ві 0.
Якщо M і N - два множини, то пряме твір M х N цих множин визначається наступним чином
В
тобто представляє собою безліч всіх упорядкованих пар (x, y), де x ГЋ M, ay ГЋ N.
1. Лінійні метричні простору
Безліч R називається лінійним простором, якщо
1) в R визначена операція "складання", яка підкоряється всім правилам складання: якщо f ГЋ R, g ГЋ R, то f + g ГЋ R; в R є нульовий елемент 0 такий, що 0 + f = f для всіх f ГЋ R;
2) у R визначена операція множення елемента f ГЋ R на числа a з безлічі К (a ГЋ К, f ГЋ R Гћ af ГЋ R). Найчастіше К - безліч всіх дійсних або комплексних чисел. p> Надалі будемо розглядати тільки лінійні простори.
Розглянемо відображення Т, яке кожному елементу f ГЋ R однозначно ставить у відповідність елемент h ГЋ R *, де R * є також лінійним простором. Якщо R * = R, то Т відображає R в самого себе. Відображення Т називається оператором і відображення R в R * записується у вигляді рівняння
T f = h (f ГЋ R, h ГЋ R *).
В окремому випадку, коли R * - Простір комплексних чисел, Т носить назву функціоналу. p> Нехай рівняння
В
T f = h
має єдине рішення і кожному елементу h ГЋ R * можна поставити у відповідність єдиний елемент f ГЋ R. Оператор, який здійснює це відповідність, називається зворотним по відношенню до Т і позначається Т -1 . Таким чином можна записати
f = T -1 h.
В
Приклад. Нехай є система лінійних рівнянь
В
Уявімо цю систему в матричному вигляді
В
Якщо ввести простір матриць - стовпців R, то де
В
і Тут оператор А - матриця розміру nxn
В
Якщо матриця А невирождени, то зворотна матриця і є зворотним оператором:
В
Визначення. Лінійне простір R називається метричним, якщо кожній парі елементів х, y ГЋ R ставиться у відповідність дійсне число r (x, y) - відстань між x і y - задовольняє умовам:
1. r (x, y) Ві 0, якщо r (x, y) = 0, то x = y;
2. r (x, y) = r (y, x);
3. r (x, y) ВЈ r (x, z) + r (z, y) (нерівність трикутника).
Якщо введенням відстані простір R перетворено в метричний простір, то говорять, що в просторі R введена метрика.
У радіотехніці елементами простору є сигнали (струми або напруги), математичними моделями яких є функції часу x (t), y (t), ... . Розглянемо наступний простір сигналів.
1. З [ a , b ] - простір неперервних на проміжку [a, b ] функцій з метрикою:
В
y (t)
r (x, y)
В
2. L 2 ( a , b ) - простір інтегровних в квадраті функцій (x (t) ГЋ L 2 ( a , b ) , якщо з метрикою
В
Визначення. Елементи лінійного простору R називаються лінійно незалежними, якщо з умови
В
випливає, що
a 1 = a 2 =. . . = A n = 0. br/>
В іншому випадку елементи f 1 , f 2 ,. . . , F n вважаються лінійно залежними. p> Максимальне число лінійно незалежних елементів визначає розмірність dim R простору R і утворюють базис цього простору. Якщо m = dim R, той простір позначається R m .
2. Лінійні нормовані простору
Визначення. Лінійне простір R називається нормованим, якщо кожному елементу х ГЋ R ставиться у відповідність дійсне число ("довжина" елемента х), зване нормою х, яке задовольняє умовам:
1. , Тоді х = 0;
2. (Однорідність норми);
3. (Нерівність трикутника). p> Поклавши для
В
перетворюємо нормоване простір R в метричний.
Можна і метричний простір R перетворити на нормоване, якщо метрика задовольняє умовам:
поклавши
Розглянуті раніше простору сигналів С
