Чисельні методи обчислення інтегралів. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса
1. Чисельні методи обчислення інтегралів. Постановка завдання
Вирішуючи фізичні завдання, часто доводиться обчислювати значення певних інтегралів від функцій. У багатьох випадках, з причини того, що підлягає обчисленню інтеграл НЕ виражається через елементарні функції, вдаються до наближених чисельним методам.
Насамперед, розглянемо випадок, коли - кінцевий інтервал. p> У такому випадку, як відомо, функція є обмеженою, тобто . У цьому випадку найбільш часто вживаний чисельний метод інтегрування полягає в тому, що інтеграл від замінюється деякою лінійною комбінацією значень в точках:
(1)
Формула (1) називається квадратурної формулою, а коефіцієнти - квадратурними коефіцієнтами або вагами, абсциси - вузлами квадратурної формули.
Методи чисельного інтегрування класифікуються залежно від того, чи задані значення аргументу через рівні проміжки чи ні. Так методи Ньютона-Котеса вимагають, щоб значення були задані з постійним кроком, а методи Гаусса не накладають такого обмеження. Перейдемо до розгляду цих методів. br/>В
2. Методи Ньютона-Котеса
Нехай різні точки відрізка, службовці вузлами інтерполяції для деякої інтерполюючої функцію функції. Тоді маємо:
(2)
де - залишковий член. Припустимо, що
(3)
причому підібрані так, щоб всі інтеграли
(4)
можна обчислити точно. Тоді ми отримуємо квадратурної формули
(5)
2.1 Формула трапецій
В В Окремим випадком методів Ньютона-Котеса є квадратурна формула трапеції. Подинтегральную функцію будемо інтерполювати за формулою Лагранжа, в тому випадку, коли на кожному відрізку ділення приймається лінійна інтерполяція, а результати сумуються (рис 1):
В
Рис. 1. br/>
а) графічний висновок:
Певний інтеграл, як відомо, задає площа криволінійної трапеції, тому, вписавши ламану в дугу кривої, ми отримуємо, що площа криволінійної трапеції можна наближено обчислити як суму площ трапецій:
(6)
Між тим, очевидно, що
(7)
Так як, в методах Ньютона-Котеса,, враховуючи (6) отримуємо:
(8)
або, з'єднуючи подібні члени, маємо:
(9)
Формула (9) - називається формулою трапецій.
б) Аналітичний висновок:
Виведемо формулу трапеції аналітичним способом. Для цього використовуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа для відрізка, побудуємо багаточлен першої ступеня, який на кінцях відрізка приймає задані значення. Ясно, що в такому випадку інтерполююча функція має вигляд:
(10)
тому в методі Ньютона-Котеса, враховуючи (3) і (4), з (10) отримуємо:
В
(11)
Аналогічно,, тобто
(12)
Таким чином, отримуємо формулу:
(13)
тоді, використовуючи властивість аддитивности оператора інтегрування, маємо:
(14)
де. Отримали формулу (14) трапецій, яка природно, збігається з (9).
2.2 Формула Сімпсона
Розглянемо метод Ньютона-Котеса (тобто), у разі інтерполяції підінтегральної функції квадратичними функціями на кожному інтервалі поділу. У даному випадку ми маємо справу з параболічним интерполированием, тому на кожному інтервалі, необхідно знання значення функції в трьох точках (тому що має 3 невідомих параметра - коефіцієнти). У якості третьої точки на кожному відрізку - вибирається середина цього відрізка, тобто точка.
Висновок формули Сімпсона будемо виробляти аналітично. Як і в попередньому випадку застосовуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа, для інтерполяції функції, на відрізку, при чому вважаємо, що нам відомі значення. Тоді, очевидно, що многочлен Лагранжа має вигляд квадратичної функції:
(15)
Інтегруючи (15) на відрізку матимемо формулу:
(16)
використовуючи властивість аддитивности інтеграла, отримуємо:
(17)
де є парним числом (- число поділок відрізка, тобто число рівних відрізків розбиття).
Формула (17)-називається формулою Сімпсона . p> Прийнявши позначення, отримуємо звичний вигляд квадратурних формул:
а) Формула трапецій:
(18)
б) Формула парабол (Сімпсона) (при)
(19)
2.3 Метод Ромберга
Нехай проміжок інтегрування розбитий на рівних частин і для цього розбиття за формулою трапеції отримано значення. Значення - Зб...
