ігається зі значенням обчислюваного інтеграла, якщо інтегрована функція лінійна, тобто є многочленом першого ступеня. За формулою:
(20)
званої формулою Ромберга , побудуємо - схему:
(21)
Виявляється, що для інтегровних за Ріманом функцій, всі стовпці і рядки - схеми сходяться до вихідного значення інтеграла.
Приклад : Виписати явні формули для фрагмента - схеми:
В В В В В
Рішення :
Нехай Тоді
В В В В В В
В
3. Квадратурні формули Гаусса
У всіх наведених до Досі формулах чисельного інтегрування Ньютона-Котеса і у всіх формулах, одержуваних методом Ромберга, використовуються рівновіддалені вузли. У разі квадратурних формул Гаусса це вже не так. Інакше кажучи, сенс квадратурних формул Гаусса полягає в тому, щоб при найменшому можливому числі вузлів точно інтегрувати многочлени найвищої можливої вЂ‹вЂ‹ступеня. Можна показати, що при гаусових вузлах за отриманою формулою можна точно інтегрувати многочлени ступеня.
( 22)
Для кількості вузлів і відповідних значень і - складені таблиці, які дозволяють обчислювати інтеграли за формулою (22).
Для розуміння суті цих таблиць розглянемо приклад.
Приклад:
Нехай нам потрібно скласти квадратурної формули з двома вузлами, по якій точно інтегруються многочлени до ступінь включно.
Рішення: Шукана формула має вигляд:
, (23)
де - залишок, який звертається в нуль, для
, прі.
Тоді, підставляючи в (23) маємо:
(24)
Звідси, прирівнюючи коефіцієнти при, праворуч і ліворуч, отримуємо систему рівнянь:
(25)
Її рішення має вигляд:
(26)
Отже, шукана квадратурная формула така :
. (27)
Ясно, що якщо нам потрібно обчислити інтеграл з багатьма вузловими точками, діємо таким чином:
а) проміжок інтегрування ділимо на - рівних проміжків і на кожному маленькому проміжку застосовуємо формулу Гаусса з нерівновіддаленими вузлами (27);
б) отримані результати складаємо.
У разі, коли, виявляється, що вузловими точками при розподілі відрізка на - частин є корені відповідних многочленів Лежандра.
Для обчислення кратних інтегралів, їх зводять зазвичай до повторних інтегралам, а далі застосовують ті ж самі кубатурних формули для кожного значення вузлових точок, що і в одновимірному випадку. Однак, треба мати на увазі, що кратні інтеграли значно складніше обчислювати із заданою точністю.
Точність вироблених обчислень залежить від точності апроксимації підінтегральної функції многочленами.
В
4. Оцінка інтегралів
При чисельному інтегруванні поряд з наближеними формулами представляє також інтерес знаходження нижніх і верхніх кордонів інтегралів. Розглянемо два методи оцінки інтегралів:
а) оцінка інтеграла в випадку, коли подинтегральная функція, задовольняє умові:
для (28)
б) загальний випадок.
Розглянемо інтеграл:
(29)
де,. Не благаючи спільність, будемо вважати, що,, тоді (Мал. 1) ясно, що
В
До Е
N
М
0
В
Рис. 1
0
Площа криволінійної трапеції укладена між площами aMNb і aKEb, тобто
(30)
Очевидно, що
(31)
(32)
Таким чином, для оцінки інтеграла у разі, маємо:
(33)
якщо ж, нерівність (33) замінюється на зворотне.
б) Інший принцип грубої, але зате загальної оцінки значення інтеграла, заснований на В«монотонностіВ» інтеграла. При цьому способі подинтегральную функцію наближають знизу і зверху інтегровною в замкнутому вигляді функціями і, тобто
, (34)
Тоді
(35)
В
5. Обчислення інтегралів методом Монте-Карло
Нехай нам потрібно обчислити інтеграл:
(36)
У разі, коли методи Ньютона-Котеса і Гаусса працюють погано, доводиться звертатися до імовірнісних методів випадкового пошуку. До таких методів відноситься метод Монте-Карло. p> Для обчислення інтеграла (36) методом Монте-Карло, замінимо змінну інтегрування таким чином, щоб межі інтегрування відобразилися відповідно в. Для цього потрібно скористатися перетворенням:
(37)
тоді інтеграл (36) приймає вигляд:
(38)
Для обчислення ж інтеграла на маємо формулу:
