Введення
Числа багато тисячоліть тому увійшли в життя і побут людей. Людина їх використовує не тільки за рахунку і обчисленнях, він придумав різні ігри з числами і шаради. Деякі числа наділив надприродними властивостями, наприклад, такі як 13, 666. Серед нескінченної кількості дійсних чисел існують ще особливі, і не тільки для математиків, числа p і е . Ці числа мають свої власні позначення, так як їх не можна записати точно з допомогою цифр. Числа 3,14 і 2,7 лише одні з наближених значень чисел ПЂ і е. Ці числа є ірраціональними і трансцендентними, для їх точного визначення не вистачило б і трильйона десяткових знаків.
"Математиками вивчені послідовності цифр е і p, і з'ясовано, що всі цифри в цьому числі зустрічаються з однаковою частотою ". Ці числа можуть заворожити своєю непокорою, особливо p. "Цьому числу вдавалося на протязі тисячоріч тримати в полоні думки і почуття не тільки математиків і астрономів, а й філософів і художників ". Витрачалися роки для обчислення кількох десяткових знаків числа p.
Історія числа p
"Письмова історія числа p починається з єгипетського папірусу, датованого приблизно 2000 роком до нашої ери, але воно було відоме ще стародавнім людям. Число p звернуло на себе увагу людей ще в ті часи, коли вони не вміли письмово викладати ні своїх знань, ні своїх переживань, ні своїх спогадів. З тих пір як перші натуральні числа 1,2,3,4, ... стали нерозлучними супутниками людської думки, допомагаючи оцінювати кількості предметів або їх довжини, площі або обсяги, люди познайомилися з числом p. Тоді воно ще не позначалося однією з літер грецького алфавіту і його роль відігравало число 3. Неважко зрозуміти, чому числу p приділяли так багато уваги. Висловлюючи величину відносини між довжиною кола і її діаметром, воно з'явилося у всіх розрахунках пов'язаних з площею кола або довжиною колу ". Але вже у давнину математики досить швидко і не без подиву виявили, що число 3 не зовсім точно виражає те, що тепер відоме як число пі. Безумовно, до такого висновку могли прийти тільки після того, як до ряду натуральних чисел додалися дробові або раціональні числа. Так єгиптяни отримали результат: Надалі Архімед, використовуючи метод верхніх і нижніх наближень, отримує наступні межі числа пі. Індуси в V-VI століттях користувалися числом, китайці - числом
"Позначення числа p походить від грецького слова ("окружність"). Вперше це позначення використовував в 1706 році англійський математик У. Джонс, але загальноприйнятим воно стало після того, як його (починаючи з 1736 року) став систематично вживати Леонард Ейлер ". В кінці 18 століття І. Ламберт і А. Лежандра встановили, що p ірраціональне число, а в 1882 році Ф. Лідерман довів, що воно трансцендентне, тобто не може задовольняти ніякому рівнянню алгебри з цілими коефіцієнтами.
Протягом всього існування числа p, аж до наших днів, велася своєрідна "Гонитва" за десятковими знаками числа p. Леонардо Фібоначі близько 1220 року визначив три перші точних десяткових знаків числа p. У 16 столітті Андріан Антоніс визначив 6 таких знаків. Франсуа Вієт (подібно Архімеду), обчислюючи периметри вписаного і описаного 322216-кутників, отримав 9 точних десяткових знаків. Андріан Ван Ромен таким же способом отримав 15 десяткових знаків, обчислюючи периметри 1073741824-кутників. Лудольф Ван Келен, обчислюючи периметри 32512254720-кутників, отримав 20 точних десяткових знаків. Авраам Шарп отримав 72 точних десяткових знаків числа p. У 1844 році З. Дазе обчислює 200 знаків після коми числа p, в 1847 році Т. Клаузен отримує 248 знаків, в1853 Ріхтер обчислює 330 знаків, у тому ж 1853 440 знаків отримує З. Дазе і в цьому ж році У. Шенкс отримує 513 знаків. "З появою ЕОМ кількість вірних знаків десяткових знаків різко зростає:
1949 - 2037 десяткових знаків (Джон фон Нейман, ENIAC), 1958 рік - 10000 десяткових знаків (Ф. Женю, IBM-704), 1961 рік - 100000 десяткових знаків (Д. Шенкс, IBM-7090), 1973 рік - 10000000 десяткових знаків (Ж. Гійу, М. Буйе, CDC-7600), 1986 рік - 29360000 десяткових знаків (Д. Бейлі, Cray-2), 1987 рік - 134217000 десяткових знаків (Я. Канада, NEC SX2), 1989 рік - 1011196691 десяткових знаків (Д. Гудновскі і Г. Гудновскі, Cray-2 + IBM-3040) "
При обчисленні вірних десяткових знаків числа p користувалися різними способами, деякі, як і Архімед обчислювали периметри вписаних і описаних n-кутників, але пізніше стали вдаватися до допомоги рядів. p> Так Лейбніц обчислював за допомогою ряду:
В
Шарп застосував ряд:
В
Л. Ейлер за допомогою ряду:
В
З. Дазе використовував ряд. p> Джон Валліс (1616-1703) знайшов нескінченне твір, за допомогою якого можна обчислити число пі:
В В
Визначення числа p
Теорема: Відношення довжини окружності до її діаметра однаково для всіх кіл.
Доказ. <...
