/p>
Позначимо через L - довжину окружності, через d - Її діаметр, то формулювання теореми запишеться наступним чином: Розглянемо правильний n -кутник, вписаний в коло радіуса r зі стороною а n і периметром Р n , то Доведемо, що ставлення однаково для всіх кіл. Розглянемо дві довільні кола з вписаними в них правильними n -косинцями. З подоби трикутників АОВ і А 1 Про 1 У 1 випливає, що т.к. окружності брали довільні, то це рівність буде справедливо для всіх кіл. Отже, для всіх кіл, отже Це відношення довжини кола до її діаметра прийнято позначати грецькою буквою "p".
Визначення: Числом p називається відношення довжини кола до її діаметра.
Історія числа е
Число з'явилося порівняно недавно. Його іноді називають "неперово числом" на честь винахідника логарифмів шотландського математика Джона Непера (1550-1617), проте необгрунтовано, оскільки немає твердих підстав для твердження, що Непер мав про число е чітке уявлення " [10]. Вперше позначення " е " ввів Леонард Ейлер (1707-1783). Він також обчислив точні 23 десяткові знака цього числа, використавши уявлення числа е у вигляді нескінченного числового ряду: отримане Данилом Бернули (1700-1782). "У 1873 році Ерміт довів трансцендентність числа е . Л. Ейлер отримав чудовий результат, що зв'язує числа е , p, і:. Йому належить і заслуга визначення функції для комплексних значень z , що поклало початок математичному аналізу в комплексній області - теорії функцій комплексної змінної "[10]. Ейлером були отримані наступні формули: Розглядають логарифми по підставі е , звані натуральними і позначаються Lnx .
Способи визначення
Число e може бути визначено декількома способами.
Через межа:
(другий чудовий межа).
Як сума ряду:
або.
Як однина a , для якого виконується
В
Як єдине позитивне число a , для якого вірно
В
Властивості
Дана властивість відіграє важливу роль у вирішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння є функція, де c - довільна константа.
Число e ірраціонально і навіть трансцендентно. Це перше число, яке не було виведено як трансцендентне спеціально, його трансцендентність була доведена тільки в 1873 році Шарль Ерміта. Передбачається, що e - нормальне число, то є ймовірність появи різних цифр у його записи однакова.
, див формула Ейлера, зокрема
В
Ще одна формула, що зв'язує числа е і ПЂ , т. зв. "Інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гауса"
В
Для будь-якого комплексного числа z вірні такі рівності:
В
Число e розкладається в нескінченну ланцюгову дріб наступним чином:
, тобто
В В
Представлення Каталана:
В
Історія
Дане число іноді називають неперово на честь шотландського вченого Непера, автора роботи "Опис дивовижної таблиці логарифмів" (1614). Однак ця назва не зовсім коректно, оскільки у нього логарифм числа x дорівнював
.
Вперше константа негласно присутня в додатку до перекладу на англійську мову вищезгаданої роботи Непера, опублікованим в 1618 році. Негласно, тому що там міститься тільки таблиця натуральних логарифмів, визначених з кінематичних міркувань, сама ж константа не присутній (див.: Непер).
Передбачається, що автором таблиці був англійський математик Отред. p> Саму ж константу вперше обчислив швейцарський математик Бернуллі при аналізі такий рівень:
В
Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася буквою b , зустрічається в листах Лейбніца Гюйгенсу, 1690-1691 роки. p> Букву e почав використовувати Ейлер в 1727 році, а першою публікацією з цією буквою була його робота "Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично" 1736. Відповідно, e зазвичай називають числом Ейлера . Хоча згодом деякі вчені використовували букву c , буква e застосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.
Чому була обрана саме буква e , точно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential ("Показовий", "експонентний"). Інше припущення полягає в тому, що букви a , b , c і d вже досить широко використовувалися в інших цілях, і e була першою "вільної" буквою. Неправдоподібно припущення, що Ейлер вибрав e як першу букву в свого прізвища (нім. Euler ) [ джерело не вказано 334 дні ] .
Мнемоніка
