Передмова
У даній роботі розглянуто метод комплексних чисел в планіметрії, застосування його критеріїв у задачах елементарного характеру на теми - В«Паралельність, колінеарність, перпендикулярність В»,В« Кути і площі В»,В« Багатокутники В»,В« Пряма та коло В».
Метод комплексних чисел в іноземній літературі використовується досить широко. Однак у вітчизняній літературі цей метод не отримав широкого розповсюдження. Є окремі фрагменти в книзі З. А. Скопець. Систематичне виклад цього методу дано в книзі Я. П. Понаріна В«Алгебра комплексних чисел у геометричних задачахВ». Нами вибрані і вирішені на наш погляд найбільш цікаві завдання, що виконуються цим методом.
Метод комплексних чисел дозволяє вирішувати планіметричних завдання прямим обчисленням за готовими формулами. Вибір цих формул з очевидністю диктується умовою задачі та її вимогою. У цьому складається надзвичайна простота цього методу в порівнянні з векторним і координатним методами, методом геометричних перетворень, конструктивно-синтетичним методом, що вимагають від вирішального часом чималому кмітливості і тривалих пошуків, хоча при цьому готове рішення може бути коротким.
В
В§ 1 Паралельність, колінеарність, перпендикулярність.
1.1. Колінеарність векторів .
(1.2)
В 1.2. Колінеарність трьох точок .
(1.3)
Це - критерій приналежності точок А, В, С одній прямій .
(1.5)
визначає пряму, яка містить хорду АВ одиничному колі.
1.3. Перпендикулярність відрізків (векторів) .
(1.7)
Рівняння дотичної
(1.8)
(1.9)
В
З а д а ч а 1. Довести, що точки перетину прямих, що містять сторони трикутника, з дотичними до описаного кола в протилежних їм вершинах колінеарні. <В
В§ 2 Кути і площі
2.1. Кут між векторами .
(2.1)
В
(2.2)
2.2. Площа трикутника
(2.3)
В
З а д а ч а 2. Підстава D висоти CD трикутника ABC ділить сторону AB щодо 3:1 . Кут ACD вдвічі більше кута BCD . Обчислити кути трикутника ABC . h1 align=center> В§ 3 Багатокутники
3.1. Подібні трикутники.
(3.1)
де - комплексне число, - коефіцієнт подібності.
(3.2)
де - комплексне число, - коефіцієнт подібності. p> Якщо, то трикутники і рівні. Тоді співвідношення (3.1) - ознака рівності однаково орієнтованих трикутників, а співвідношення (3.2) - Ознака рівності протилежно орієнтованих трикутників. p> 3.2. Критерій правильного трикутника.
Трикутник орієнтований позитивно:
В (3.4)
Трикутник орієнтований негативно:
(3.5)
В
3.3 Правильні багатокутники .
В
де k приймає значення. Всі n значень мають один і той ...
