Міра обмеженого відкритого безлічі
У теорії функцій дійсної змінної велику роль грає поняття заходи точкового безлічі, узагальнююче поняття довжини проміжку, площі прямокутника, обсягу паралелепіпеда і т.д. У цьому розділі ми викладемо теорію вимірювання лінійних обмежених точкових множин, що належить А.Лебегу.
Так як найбільш простий структурою мають відкриті множини, то природно почати саме з них.
Визначення 1. Мірою інтервалу ( a, b) називається його довжина, тобто b - a . Це число позначається так:
m (a, b) = b - a
Очевидно, що завжди m ( a, b) > 0.
Лемма 1 . Якщо в інтервалі D міститься кінцеве число взаємно налягаючих інтервалів d 1 , d 2 , ..., D n , то
В
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай D = (A, B), d k = (a k , b k ) (K = 1, 2, ..., n). p> Не порушуючи спільності, можна вважати, що інтервали d k перенумеровані в порядку зростання лівих решт, тобто що
a 1 2 <... n . p> Але тоді, очевидно, b k ВЈ a k +1 (k = 1, 2, ..., n - 1), бо інакше інтервали d k і d k +1 налягали б один на одного. Тому сума
Q = (B - b n ) + (a n - b n -1 ) + ... + (a 2 - b 1 ) + (a 1 - A)
не негативні. Але очевидно, що, звідки і слід лема. p> Слідство. Якщо на інтервалі D лежить рахункове безліч взаємно не налягати інтервалів d k ( k = 1, 2, 3, ...), то
.
[Маючи справу з позитивним розбіжним поруч, ми приписуємо йому суму, рівну + ВҐ; тому всякий позитивний ряд має деяку суму. Нерівності k
Визначення 2. Мірою mG непорожньої відкритого обмеженого безлічі G називається сума довжин всіх його складових інтервалів d k :
В
(Не знаючи, звичайно або лічильно безліч {d k }, ми будемо вживати позначення d k , маючи на увазі, дивлячись по обставинам, під цим символом k або k .)
У силу вищевідзначене слідства,
mG < + ВҐ
Якщо безліч G пусто, то ми, за визначенням, вважаємо
mG = 0,
так що завжди mG Ві 0.
Якщо D є інтервал, містить в собі відкрите безліч G, то
mG ВЈ m D ,
що випливає з того ж слідства.
Приклад (Канторової безліч G 0 ). <...
