/B> Побудова Канторової безлічі
G 0 складалося з ряду послідовних кроків.
На першому кроці брався інтервал (1/3, 2/3) довжини 1/3. На другому кроці до нього приєднувалися два інтервали: (1/9, 2/9) і (7/9, 8/9), довжини 1/9 кожен.
На третьому кроці приєднувалися ще чотири інтервалу, довжини 1/27 кожний і т.д.
Таким чином
mG 0 = ...
Підсумовуючи за відомою формулою цю прогресію, отримуємо
mG 0 = 1.
Теорема 1. Нехай G 1 і G 2 два обмежених відкритих множини. Якщо G 1 ГЊ G 2 , то
mG 1 ВЈ mG 2 .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай d i ( i = 1, 2, ...) і D < i> k ( k = 1, 2, ...) суть, відповідно, складові інтервали множин G 1 і G 2 .
У силу теореми 4, В§ 5, гл.II, кожен з інтервалів d i міститься в одному (і тільки одному) з інтервалів D k .
Тому безліч {d i } можна розбити на ряд взаємно не перетинаються підмножин А 1 , А 2 , А 3, ..., відносячи d i в А k в тому випадку, коли d i ГЊ D k .
Тоді, користуючись відомими властивостями подвійних рядів, ми можемо написати
.
Але, в силу слідства леми 1,
, звідки,
що й потрібно було довести.
Слідство . Міра відкритого обмеженої множини G є точна нижня межа заходів всіляких відкритих обмежених множин, містять G .
Теорема 2 . Якщо відкрите обмежене безліч G є сумою кінцевого числа або лічильного безлічі взаємно не налягати відкритих множин
,
то
.
Це властивість заходи називається повної аддитивностью .
Д про до а із а т е л ь с т в о . Нехай (i = 1, 2, ...) суть складові інтервали безлічі G k . Покажемо, що кожен з них є складовим інтервалом суми G. p> Справді, та обставина, що G, очевидно. Залишається переконатися, що кінці інтервалу не належить G. Припустимо, що, наприклад, правий кінець інтервалу належить G. Тоді цей правий кінець (позначимо його через m) повинен належати якомусь з доданків множин. Нехай m ГЋ G k '. (Очевидно k Вў В№ k, бо безлічі G k точка m свідомо не належить.) Але безліч G k Вў відкрито і, стало бути, точка m належить одному з складових інтервалів цієї множини m ГЋ d i Вў
