У піраміді SАBC: трикутник аbс - основа піраміди, точка S - її вершина. Дано координати точок А, B, C, S. Зробити креслення. Знайти:
). довжину ребра АB;
). кут між ребрами АB і АS;
). кут нахилу ребра АS до основи піраміди;
). площа основи піраміди;
). обсяг піраміди;
). рівняння прямої АВ;
). рівняння площини АBC;
). проекцію вершини S на площину АBC;
). довжину висоти піраміди.
Завдання 14.
A (3; 2.0); B (1; 2; 0); C (0; 4, 2); S (1; -2; 4)
Зробимо креслення
В
1. Довжина ребра АB
Довжина ребра АB дорівнює довжині вектора АB.
Знайдемо координати вектора
;
Тоді довжина вектора дорівнює:
В
. Кут між ребрами АB і АS
Кут між ребрами АB і АS дорівнює куту між векторами і. Кут між векторами знаходимо за формулою:
В
Тоді
В В В
Отже
В
3. Кут нахилу ребра АS до основи піраміди. br/>
Кут нахилу ребра АS до основи піраміди є кутом між прямою AS і її проекцією на площину. Це кут між нормаллю до площини АBC і прямої АS. В якості нормалі візьмемо векторне твір і. br/>В В
Отже,
В
Отже, нормальний вектор площини має координати
В
Тоді кут між ребром АS і гранню АBC дорівнює:
В В
4. Площа основи піраміди
Площа основи піраміди дорівнює площі грані АBC і дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і. Площа ж паралелограма дорівнює векторному добутку векторів і. Добуток векторів чисельно одно модулю нормального вектора. Т.ч.
В
Отже,
В
. Об'єм піраміди
Об'єм піраміди побудованої на векторах знайдемо за формулою
В
де
Враховуючи, що
В
Отже
В
. Рівняння прямої АB. br/>
Рівняння прямої АB знайдемо як рівняння прямої з напрямних вектором. Тобто
піраміда ребро кут підставу
або
Тобто шукана пряма лежить у площині.
. рівняння площини АBC.
Рівняння площини АBC будемо шукати як рівняння площини, що проходить через три задані точки
В
або
В
Остаточно отримуємо
В
8. Проекцію вершини S на площину АBC
Проекція вершини S на площину АBC - це точка перетину площини ABC і прямої SD, перпендикулярній площині ABC.
Рівняння висоти може бути знайдено як рівняння прямої, що проходить через задану точку A з спрямовуючим вектором. В якості направляючого вектора використовуємо нормальний вектор площини АBC. p align="justify"> Нормальний вектор площині отримаємо з її рівняння (пункт 7).
В
Таким чином рівняння шуканої прямої має вигляд
В
або
В
Знайдемо точку перетину площини і прямої. Для цього вирішимо систему отриманих рівнянь
В
Отже, точка D (1,1,1).
. Довжину висоти піраміди
Довжину висоти піраміди знайдемо за формулою відстані від точки до площини
В
де, координати точки S,
A, B, C, D - коефіцієнти рівняння площини основи піраміди.
Отже
В
